Chuyên đề Phương trình mũ –lôgarit

§Ò bµi
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
§iÒu kiÖn:  .
ThÕ vµo ph­¬ng tr×nh ta cã :
So s¸ch víi ®iÒu kiÖn, ta ®­îc ( tháa m·n ).
VËy nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh lµ .
§Ò bµi
Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
§Æt 
Khi ®ã ph­¬ng tr×nh trë thµnh:
  (v× )
Do ®ã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ : .
§Ò bµi
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh  .
HÖ ph­¬ng tr×nh 
§Ò bµi
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh : 
§Æt 
Ph­¬ng tr×nh 
§¸p sè : .
§Ò bµi
T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó bÊt ph­¬ng tr×nh sau ®­îc nghiÖm ®óng víi mäi x: 
.
§Æt 
BÊt ph­¬ng tr×nh ®· cho sÏ ®­îc nghiÖm ®óng ®óng .
XÐt hµm sè 
Ta cã : 
Do ®ã xÐt b¶ng biÕn thiªn ta ®­îc  ®óng .
§¸p sè : 
§Ò bµi
Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: 
.
§Ò bµi
Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
§Æt 
Ph­¬ng tr×nh ®· cho 
a) (tháa m·n c¶ hai ph­¬ng tr×nh)
b) (Do céng hai vÕ l¹i)
§¸p sè: 
§Ò bµi
Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh 
§Æt  th× bÊt ph­¬ng tr×nh trë thµnh 
    hoÆc 
§Ò bµi
Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh 
                 (1)
cã nghÜa 
  cã nghÜa hoÆc  
  hoÆc 
LËp b¶ng xÐt dÊu ta cã:
- Víi th× (1) v« nghÜa
- Víi th× vÕ tr¸i (1)0 , (1) sai.
- Víi th× (1) v« nghÜa .
- Víi  th× vÕ tr¸i (1)>0,vÕ ph¶i (1)<0,(1) ®óng
- Víi nªn
(1) 
hoÆc , kÕt hîp víi ta ®­îc 
§¸p sè : 
§Ò bµi
Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
TËp x¸c ®Þnh 
Ph­¬ng tr×nh 
§Æt 
Ph­¬ng tr×nh 
Ta cã hÖ 
§¸p sè: .
§Ò bµi
Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
. §Æt 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn ta ®­îc .
§Ò bµi
Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
. §Æt 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn ta ®­îc .
§Ò bµi
Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
TËp x¸c ®Þnh 
HÖ trªn v« nghiÖm => tËp x¸c ®Þnh lµ tËp rçng 
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm 
§Ò bµi
Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh :
BÊt ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi 
§Ò bµi
Cho ph­¬ng tr×nh
 (1)
T×m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ®o¹n .
   (1)
§iÒu kiÖn . §Æt ta cã
   (2)
VËy (1) cã nghiÖm  khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm .§Æt 
C¸ch 1.
Hµm sè lµ hµm t¨ng trªn ®o¹n [1;2]. Ta cã . Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
  .
C¸ch 2.
TH1. Ph­¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm tháa m·n 
Do   nªn kh«ng tån t¹i .
TH2. Ph­¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm tháa m·n hoÆc 
.
§Ò bµi
Cho ph­¬ng tr×nh          (1)
X¸c ®Þnh tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tháa m·n 
BiÕn ®æi t­¬ng ph­¬ng tr×nh ®· cho vÒ d¹ng t­¬ng ®­¬ng:
Ta cã :             (3)
Ta nhËn thÊy ph­¬ng tr×nh (3) cã hai nghiÖm lµ :
vµ ,ta cã :
hoÆc         (4)
B©y giê ta kiÓm tra ®iÒu kiÖn (1):
Tõ PT (3) .Do ®ã BPT (1) trë thµnh
       (5)
a) Thay vµo (5) ta ®­îc
             (6)
b)Thay vµo (5) ta ®­îc :
       (7)
KÕt hîp bÊt ®¼ng thøc (4),(6),(7) ta thu ®­îc kÕt qu¶:
hoÆc .
§Ò bµi
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
HÖ ph­¬ng tr×nh 
hoÆc 
§Ò bµi
Cho ph­¬ng tr×nh : (1) ( m lµ tham sè ) .
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc 
   (2)
§iÒu kiÖn .
§Æt .
Ta cã :
            (3)
          .
VËy (2) cã nghiÖm khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm .
§Æt .
C¸ch 1 : Hµm sè lµ hµm t¨ng trªn ®o¹n .
Ta cã : .
Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm .
           .
C¸ch 2 :
Tr­êng hîp 1 : Ph­¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm tháa m·n .
Do nªn kh«ng tån t¹i m.
Tr­êng hîp 2 : Ph­¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm tháa m·n
          hoÆc 
§Ò bµi
Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 
Bµi gi¶i cña b¹n: vtduc1990 21:14:51 Ngµy 10-01-2008 
®iÒu kiÖn:-6<x<4 vµ x kh¸c -2
§Ò bµi
Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh : 
Gi¶i ra ta ®­îc  
§Ò bµi
Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
Cã  
Ph­¬ng tr×nh 
§k: 
*)   tháa m·n ®iÒu kiÖn
*) 
§¸p sè: 
§Ò bµi
Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh 
ViÕt l¹i ph­¬ng tr×nh thµnh:
§Æt  ta cã
§Ò bµi
Cho bÊt ph­¬ng tr×nh:  .
T×m ®Ó bÊt ph­¬ng t×nh ®­îc nghiÖm ®óng víi mäi tháa m·n ®iÒu kiÖn 
    (1)
§Æt lu«n cïng dÊu víi .
 lÊy c¸c gi¸ trÞ trong kho¶ng 
(2)
(1) ®óng   ®óng 
§¸p sè: .
§Ò bµi
Gi¶i ph­¬ng tr×nh:                   
Ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi: 
Râ rµng ph­¬ng tr×nh cã lµ nghiÖm
Ta cã                   
                               víi 
;    
Suy ra lµ hµm liªn tôc,®ång biÕn vµ nhËn c¶ gi¸ trÞ ©m,c¶ gi¸ trÞ d­¬ng trªn R nªn ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt .
Tõ b¶ng biÕn thiªn cña hµm  cã kh«ng qu¸ hai nghiÖm.
VËy ph­¬ng tr×nh cã ®óng hai nghiÖm : .
Chó ý : * Cã thÓ chøng minh ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm nh­ sau :
               Ta cã : 
               Suy ra ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm .
            * Cã thÓ sö dông ®Þnh lý Lagrange ®Ó chøng minh cã nghiÖm 
§Ò bµi
T×m ®Ó mäi  tháa m·n bÊt ph­¬ng tr×nh .
§iÒu kiÖn .BÊt ph­¬ng tr×nh cã thÓ viÕt d­íi d¹ng .
§Æt .
Khi ®ã bÊt ph­¬ng tr×nh trë thµnh  
KÕt hîp ta cã 
BÊt ph­¬ng tr×nh ®óng khi vµ chØ khi
§Ò bµi
Gi¶i ph­¬ng tr×nh       .
§iÒu kiÖn cã nghÜa: 
§Æt .
Râ rµng lµ nghiÖm cña (*).
L¹i cã .
VÕ tr¸i lµ hµm nghÞch biÕn, vÕ ph¶i lµ hµm ®ång biÕn, vËy lµ nghiÖm duy nhÊt cña (*) lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph­¬ng tr×nh
§¸p sè :  .