Chuyên đề Toán 12

thÞ hµm sè cã 3 cùc trÞ
Bµi 5. (§H Vinh - 2002)
1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 4 25 4y x x   
2. X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh 4 2 25 3 0x x m    cã 4 nghiÖm ph©n biÖt.
Bµi 6
Cho hµm sè
4
2 924 4
xy x  
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè
b. BiÖn luËn theo k sè giao ®iÓm cña (C) víi ®å thÞ (P) cña hµm sè 22y k x 
Bµi 7
Cho hµm sè 4 2 3 22y x mx m m   
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè khi m = 1
b. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ ( )mC cña hµm sè ®· cho tiÕp xóc víi trôc hoµnh t¹i 2 ®iÓm
Bµi 8. (§H CÇn th¬ - 2002)
Cho hµm sè 4 22 2y x x m    (Cm)
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 0
b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ (Cm) cña hµm sè chØ cã hai ®iÓm chung víi Ox
c. Chøng minh víi mäi m tam gi¸c cã 3 ®Ønh lµ ba cùc trÞ lµ mét tam gi¸c vu«ng c©n.
16
HỌ ĐƯỜNG CONG
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho họ đường cong ),(:)( mxfyCm  ( m là tham số )
Biện luận theo m số đường cong của họ )( mC đi qua điểm );( 000 yxM cho trước.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Ta có :
 Họ đường cong )( mC đi qua điểm );( 000 yxM  ),( 00 mxfy  (1)
Xem (1) là phương trình theo ẩn m.
Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M0
Cụ thể:
 Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua M0
 Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M0
 Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M0
 Trong trường hợp này ta nói rằng M0 là điểm cố định của họ đường cong )( mC
D¹ng 1:
TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho họ đường cong ),(:)( mxfyCm  ( m là tham số )
Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1: Gọi );( 000 yxM là điểm cố định (nếu có) mà họ (Cm) đi qua. Khi đó phương trình:
),( 00 mxfy  nghiệm đúng m (1)
Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau:
 Dạng 1: 0 BAm m
 Dạng 2: 02  CBmAm m
 Áp dụng định lý: 0 BAm 



0
0
B
A
m (2)







0
0
0
02
C
B
A
mCBmAm (3)
Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được );( 00 yx
Bµi tËp
Bµi 1. Cho hä (Cm) 3 2 23( 1) 2( 4 1) 4 ( 1)y x m x m m x m m        . CMR: Khi m thay ®æi th× hä ®­êng
cong lu«n qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
Bµi 2. Cho hä ®å thÞ (Cm): 1mxx m
  . T×m c¸c ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cña hµm sè lu«n ®i qua víi mäi 1m  
Bµi 3. Cho hä (Cm) cã ph­¬ng tr×nh:
2 1
1
x mx my x
    . Chøng minh r»ng (Cm) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè
®Þnh.
Bµi 4. Cho hµm sè (Cm): 3 3 2y x mx m  
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1.
b. Chøng minh r»ng hä ®­êng cong lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
Bµi 5. Cho hµm sè: 1, m 1mxy x m
   . Gäi (Hm) lµ ®å thÞ cña hµm sè ®· cho.
17
a. Chøng minh r»ng víi mäi 1m   , hä ®­êng cong lu«n qua 2 ®iÓm cè ®Þnh.
b. Gäi M lµ giao ®iÓm cña 2 tiÖm cËn. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M khi m thay ®æi.
Bµi 6. Cho hµm sè: 3 2 m( 2) 2( 2) ( 3) 2 1 (C )y m x m x m x m        . Chøng minh r»ng hä ®å thÞ lu«n qua
ba ®iÓm cè ®Þnh vµ 3 ®iÓm cè ®Þnh ®ã cïng n»m trªn mét ®­êng th¼ng.
D¹ng 2: T×m ®iÓm hä ®å thÞ hµm sè kh«ng ®i qua
Ph­¬ng ph¸p:
B1: Gi¶ sö M(x0; y0) lµ ®iÓm mµ hä ®­êng cong kh«ng thÓ ®i qua.
B2: Khi cã ph­¬ng tr×nh: ),( 00 mxfy  v« nghiÖm víi m tõ ®ã t×m ®­îc (x0; y0)
B3: KÕt luËn vÒ ®iÓm mµ hä ®­êng cong kh«ng thÓ ®i qua.
Bµi 1. Cho hµm sè 2 2 m( 2)( 2 1) (C )y x x mx m     . T×m c¸c ®iÓm mµ (Cm) kh«ng thÓ ®i qua.
Bµi 2. Cho hµm sè
2(3 1)m x m my x m
   
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1.
b. T×m c¸c ®iÓm trªn ®­êng th¼ng x = 1, sao cho kh«ng thÓ cã gi¸ trÞ nµo cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua.
Bµi 3. Cho ®å thÞ hµm sè 3 2 m2 3( 3) 18 8 (C )y x m x mx     . Chøng minh r»ng trªn ®­êng cong y = x2 cã
hai ®iÓm mµ (Cm) kh«ng ®i qua víi mä m.
18
CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1. Bình phương 2 vế của phương trình
a) Phương pháp
 Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : A B C D   , ta thường bình phương 2 vế ,
điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau
  3 3 3 33 33 .A B C A B A B A B C      
và ta sử dụng phép thế : 3 3A B C  ta được phương trình : 33 . .A B A B C C  
b) Ví dụ
Bài 1. Giải phương trình sau : 3 3 1 2 2 2x x x x     
Giải: Đk 0x 
Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:     1 3 3 1 2 2 1x x x x x      , để giải
phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút .
Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 3 1 2 2 4 3x x x x     
Bình phương hai vế ta có : 2 26 8 2 4 12 1x x x x x     
Thử lại x=1 thỏa
 Nhận xét : Nếu phương trình :        f x g x h x k x  
Mà có :        f x h x g x k x   , thì ta biến đổi phương trình về dạng :
       f x h x k x g x   sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả
Bài 2. Giải phương trình sau :
3
21 1 1 3
3
x
x x x x
x
       
Giải:
Điều kiện : 1x  
Bình phương 2 vế phương trình ?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?
Ta có nhận xét :
3
21
. 3 1. 1
3
x
x x x x
x
      , từ nhận xét này ta có lời giải như sau :
3
21(2) 3 1 1
3
x
x x x x
x
       
Bình phương 2 vế ta được:
3
2 2 1 31 1 2 2 0
3 1 3
xx
x x x x
x x
             
Thử lại : 1 3, 1 3x x    l nghiệm
Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình :        f x g x h x k x  
 Mà có :        . .f x h x k x g x thì ta biến đổi        f x h x k x g x  
2. Trục căn thức
2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
a) Phương pháp
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm 0x như vậy phương trình luôn đưa về được
dạng tích    0 0x x A x  ta có thể giải phương trình   0A x  hoặc chứng minh   0A x  vô nghiệm ,
chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía   0A x  vô nghiệm
19
b) Ví dụ
Bài 1 . Giải phương trình sau :  2 2 2 23 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x         
Giải:
Ta nhận thấy :      2 23 5 1 3 3 3 2 2x x x x x        v      2 22 3 4 3 2x x x x     
Ta có thể trục căn thức 2 vế :   2 22 2
2 4 3 6
2 3 43 5 1 3 1
x x
x x xx x x x
          
Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : 2 212 5 3 5x x x    
Giải: Để phương trình có nghiệm thì : 2 2 512 5 3 5 0
3
x x x x       
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng   2 0x A x  , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :
 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
4 412 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 12 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
              
             
Dễ dàng chứng minh được :
2 2
2 2 53 0,
312 4 5 3
x x
x
x x
        
Bài 3. Giải phương trình : 2 33 1 1x x x   
Giải :Đk 3 2x 
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
   
  22 33
2 32 233
3 3 931 2 3 2 5 3 1
2 51 2 1 4
x x xx
x x x x
xx x
                       
Ta chứng minh :    222 2 23 33
3 31 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
    
      
2
3
3 9
2 5
x x
x
   
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
2.2. Đưa về “hệ tạm “
a) Phương pháp
 Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C  , mà : A B C 
ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x . Ta có thể giải như sau :
A B C A B
A B
     , khi đĩ ta có hệ: 2
A B C
A C
A B

       
b) Ví dụ
Bài 4. Giải phương trình sau : 2 22 9 2 1 4x x x x x      
Giải:
Ta thấy :      2 22 9 2 1 2 4x x x x x      
4x   không phải là nghiệm
Xét 4x  
Trục căn thức ta có : 2 2
2 2
2 8 4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
x
x x x x x
x x x x
             
20
Vậy ta có hệ:
2 2
2
2 2
02 9 2 1 2
2 2 9 6 8
2 9 2 1 4 7
x
x x x x
x x x
xx x x x x
                     
Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x= 8
7
Bài 5. Giải phương trình : 2 22 1 1 3x x x x x     
Ta thấy :    2 2 22 1 1 2x x x x x x       , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên.
Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt 1t
x
 thì bài toán trở nên đơn giản hơn
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau :
 2 23 1 3 1x x x x    
4 3 10 3 2x x    (HSG Toàn Quốc
2002)
     2 2 5 2 10x x x x x     
23 4 1 2 3x x x    
2 33 1 3 2 3 2x x x    
2 32 11 21 3 4 4 0x x x     (OLYMPIC 30/4-2007)
2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x         
2 22 16 18 1 2 4x x x x     
2 215 3 2 8x x x    
3. Phương trình biến đổi về tích
 Sử dụng đẳng thức  1 1 1 0u v uv u v      
   0au bv ab vu u b v a      
2 2A B
Bài 1. Giải phương trình : 233 31 2 1 3 2x x x x      
Giải:   3 3 01 1 2 1 0 1xpt x x x          
Bi 2. Giải phương trình : 2 23 33 31x x x x x    
Giải:
+ 0x  , không phải là nghiệm
+ 0x  , ta chia hai vế cho x:  3 3 33 31 11 1 1 1 0 1x xx x x x
x x
             
Bài 3. Giải phương trình: 23 2 1 2 4 3x x x x x x      
Giải: : 1dk x  
pt    13 2 1 1 0 0xx x x x         
Bài 4. Giải phương trình : 43 4
3
x
x x
x
  
Giải:
Đk: 0x 
Chia cả hai vế cho 3x  :
2
4 4 41 2 1 0 1
3 3 3
x x x
x
x x x
           
 Dùng hằng đẳng thức
21
Biến đổi phương trình về dạng : k kA B
Bài 1. Giải phương trình : 3 3x x x  
Giải:
Đk: 0 3x  khi đó pt đ cho tương đương
:
3 23 3 0x x x   
3 31 10 10 1
3 3 3 3
x x
       
Bài 2. Giải phương trình sau : 22 3 9 4x x x   
Giải:
Đk: 3x   phương trình tương đương :  2 2 13 1 31 3 9 5 97
3 1 3
18
x
x x
x x
xx x
               
Bài 3. Giải phương trình sau :    22 332 3 9 2 2 3 3 2x x x x x    
Giải : pttt  33 32 3 0 1x x x     
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
 Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt  t f x và chú ý điều kiện của
t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có thể giải được
phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói chung những phương trình mà có thể
đặt hoàn toàn  t f x thường là những phương trình dễ .
Bài 1. Giải phương trình: 2 21 1 2x x x x     
Điều kiện: 1x 
Nhận xét. 2 21. 1 1x x x x    
Đặt 2 1t x x   thì phương trình có dạng: 1 2 1t t
t
   
Thay vào tìm được 1x 
Bài 2. Giải phương trình: 22 6 1 4 5x x x   
Giải
Điều kiện:
4
5
x  
Đặt 4 5( 0)t x t   thì
2 5
4
t
x
 . Thay vào ta có phương trình sau:
4 2
2 4 210 25 62. ( 5) 1 22 8 27 0
16 4
t t
t t t t t
          
2 2( 2 7)( 2 11) 0t t t t     
Ta tìm được bốn nghiệm là: 1,2 3,41 2 2; 1 2 3t t    
Do 0t  nên chỉ nhận các gái trị 1 31 2 2, 1 2 3t t    
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: 1 2 2 3 vaøx x   
Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 22 6 1 0x x  
Ta được: 2 2 2( 3) ( 1) 0x x x    , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.
Đơn giản nhất là ta đặt : 2 3 4 5y x   và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ)
22
Bài 3. Giải phương trình sau: 5 1 6x x   
Điều kiện: 1 6x 
Đặt 1( 0)y x y   thì phương trình trở thnh: 2 4 25 5 10 20 0y y y y y        ( với
5)y  2 2( 4)( 5) 0y y y y      1 21 1 17,
2 2
(loaïi)y y    
Từ đó ta tìm được các giá trị của
11 17
2
x

Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau :   22004 1 1x x x   
Giải: đk 0 1x 
Đặt 1y x  pttt    2 22 1 1002 0 1 0y y y y x        
Bài 5. Giải phương trình sau : 2 12 3 1x x x x
x
   
Giải:
Điều kiện: 1 0x  
Chia cả hai vế cho x ta nhận được: 1 12 3x x
x x
   
Đặt
1
t x
x
  , ta giải được.
Bài 6. Giải phương trình : 2 4 23 2 1x x x x   
Giải: 0x  không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 31 1 2x x
x x
      
Đặt t= 3
1
x
x
 , Ta có : 3 2 0t t    1 51
2
t x
  
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau
2 215 2 5 2 15 11x x x x    
2( 5)(2 ) 3 3x x x x   
2(1 )(2 ) 1 2 2x x x x    
2 217 17 9x x x x    
23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x       
2 2 11 31x x  
2 2 22 (1 ) 3 1 (1 ) 0nn nx x x     
2(2004 )(1 1 )x x x   
( 3 2)( 9 18) 168x x x x x    
32 21 2 1 3x x   
Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi
phương trình đối với t lại quá khó giải
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
 Chúng ta đã biết cách giải phương trình: 2 2 0u uv v    (1) bằng cách
Xét 0v  phương trình trở thành :
2
0u u
v v
            
0v  thử trực tiếp
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)
        . .a A x bB x c A x B x 
23
 2 2u v mu nv   
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo
dạng này .
a) . Phương trình dạng :        . .a A x bB x c A x B x 
Như vậy phương trình    Q x P x có thể giải bằng phương pháp trên nếu           
.P x A x B x
Q x aA x bB x
   
Xuất phát từ đẳng thức :
  3 21 1 1x x x x    
    4 2 4 2 2 2 21 2 1 1 1x x x x x x x x x          
  4 2 21 2 1 2 1x x x x x     
  4 2 24 1 2 2 1 2 2 1x x x x x     
Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: 2 44 2 2 4 1x x x   
Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai 2 0at bt c  
giải “ nghiệm đẹp”
Bài 1. Giải phương trình :  2 32 2 5 1x x  
Giải: Đặt 21, 1u x v x x    
Phương trình trở thành :  2 2 22 5 1
2
u v
u v uv
u v
    
Tìm được: 5 37
2
x

Bài 2. Giải phương trình : 2 4 233 1 1
3
x x x x     
Bài 3: giải phương trình sau : 2 32 5 1 7 1x x x   
Giải:
Đk: 1x 
Nhận xt : Ta viết       2 21 1 7 1 1x x x x x x        
Đồng nhất thức ta được:       2 23 1 2 1 7 1 1x x x x x x       
Đặt 21 0 , 1 0u x v x x       , ta được:
9
3 2 7 1
4
v u
u v uv
v u
    
 Ta được : 4 6x  
Bài 4. Giải phương trình :  33 23 2 2 6 0x x x x    
Giải:
Nhận xét : Đặt 2y x  ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :
3 2 3 3 2 33 2 6 0 3 2 0
2
x y
x x y x x xy y
x y
           
Pt có nghiệm : 2, 2 2 3x x  
b).Phương trình dạng : 2 2u v mu nv   
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì
đưa về được dạng trên.
24
Bài 1. giải phương trình : 2 2 4 23 1 1x x x x    
Giải:
Ta đặt :
2
2 1
u x
v x
   
 khi đó phương trình trở thành : 2 23u v u v  
Bài 2.Giải phương trình sau : 2 22 2 1 3 4 1x x x x x     
Giải
Đk
1
2
x  . Bình phương 2 vế ta có :
         2 2 2 22 2 1 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x          
Ta có thể đặt :
2 2
2 1
u x x
v x
    
 khi đó ta có hệ : 2 2
1 5
2
1 5
2
u v
uv u v
u v
     
Do , 0u v  .  21 5 1 52 2 1
2 2
u v x x x
     
Bài 3. giải phương trình : 2 25 14 9 20 5 1x x x x x      
Giải:
Đk 5x  . Chuyển vế bình phương ta được:   2 22 5 2 5 20 1x x x x x     
Nhận xét : không tồn tại số ,  để :    2 22 5 2 20 1x x x x x        vậy ta không thể đặt
2 20
1
u x x
v x
     
.
Nhưng may mắn ta có :          2 220 1 4 5 1 4 4 5x x x x x x x x x          
Ta viết lại phương trình:    2 22 4 5 3 4 5 ( 4 5)( 4)x x x x x x        . Đến đây bài toán được giải
quyết .
Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
 Từ những phương trình tích   1 1 1 2 0x x x      ,   2 3 2 3 2 0x x x x     
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương
trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ
sau .
Bài 1. Giải phương trình :  2 2 23 2 1 2 2x x x x     
Giải:
2 2t x  , ta có :  2 32 3 3 0
1
t
t x t x
t x
        
Bài 2. Giải phương trình :   2 21 2 3 1x x x x    
Giải:
Đặt : 2 2 3, 2t x x t    Khi đó phương trình trở thnh :
  21 1x t x    2 1 1 0x x t    
25
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có  chẵn
:        2 2 22 3 1 2 1 0 1 2 1 0
1
t
x x x t x t x t x
t x
                
Từ một phương trình đơn giản :   1 2 1 1 2 1 0x x x x        , khai triển ra ta sẽ được pt
sau
Bài 3. Giải phương trình sau : 24 1 1 3 2 1 1x x x x      
Giải:
Nhận xét : đặt 1t x  , pttt: 4 1 3 2 1x x t t x     (1)
Ta rút 21x t  thay vào thì được pt:    23 2 1 4 1 1 0t x t x      
Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t    22 1 48 1 1x x       không
có dạng bình phương .
Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo    2 21 , 1x x 
Cụ thể như sau :    3 1 2 1x x x     thay vào pt (1) ta được:
Bài 4. Giải phương trình: 22 2 4 4 2 9 16x x x    
Giải .
Bình phương 2 vế phương trình:      2 24 2 4 16 2 4 16 2 9 16x x x x      
Ta đặt :  22 4 0t x   . Ta được: 29 16 32 8 0x t x   
Ta phải tách    2 2 29 2 4 9 2 8x x x       làm sao cho t có dạng chính phương .
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích
4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích
 Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải
nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ
Xuất phát từ đẳng thức      3 3 3 3 3a b c a b c a b b c c a         , Ta có
     33 3 3 0a b c a b c a b a c b c         
Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba .
2 23 33 7 1 8 8 1 2x x x x x       
3 3 3 33 1 5 2 9 4 3 0x x x x       
Bài 1. Giải phương trình : 2 . 3 3 . 5 5 . 2x x x x x x x        
Giải :
2
3
5
u x
v x
w x
      
, ta có :
  
  
  
2
2
2
22
3 3
5 5
u v u wu uv vw wu
v uv vw wu u v v w
w uv vw wu v w u w
                         
, giải hệ ta được:
30 239
60 120
u x  
Bài 2. Giải phương trình sau : 2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x         
26
Giải . Ta đặt :
2
2
2
2
2 1
3 2
2 2 3
2
a x
b x x
c x x
d x x
           
, khi đó ta có : 2 2 2 2 2
a b c d
x
a b c d
        
Bài 3. Giải các phương trình sau
1) 2 24 5 1 2 1 9 3x x x x x      
2)      3 3 244 44 1 1 1 1x x x x x x x x        
5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường
 Đặt    ,u x v x   và tìm mối quan hệ giữa  x và  x từ đó tìm được hệ theo u,v
Bài 1. Giải phương trình:  3 33 325 25 30x x x x   
Đặt 3 3 3 335 35y x x y    
Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: 3 3
( ) 30
35
xy x y
x y
   
, giải hệ này ta tìm được
( ; ) (2;3) (3;2)x y   . Tức là nghiệm của phương trình là {2;3}x
Bài 2. Giải phương trình