Chuyên đề về Bất đẳng thức

BÊt ®¼ng thøc Bất đẳng thức CauChy cho hai số:Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:2. Bất đẳng thức CauChy cho n số:Với n số không âmDấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:Bài toán: Chứng minh rằngTa có:Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho m số không âmvà n số không âmta có:Tương tự: Ta cũng cóCộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được điều phải chứng minh.Ví dụ 1: VớiGiải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:Mặt khác trong bất đẳng thức ở bài toán trên khi cho m = 1, n = 2 thì ta có:Cộng vế với vế của (*) và (**) ta có điều phải chứng minh.Ví dụ 2: VớiGiải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:(ĐHNN 2000)Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:Mặt khác:Cộng vế với vế của (*) và (**) ta có điều phải chứng minh.Ví dụ 3: VớiGiải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:Cộng vế với vế của (*) và (**) ta có điều phải chứng minh.Mặt khác trong bất đẳng thức ở bài toán trên khi cho m = 1, n = 1 thì ta có:Ví dụ 4: VớiGiải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:(ĐH Mở HN 1999)Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:Cộng vế với vế của (*) và (**) ta có điều phải chứng minh.Mặt khác trong bất đẳng thức ở bài toán trên khi cho m = 1, n = 1 thì ta có:Ví dụ 5: VớiGiải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:Cộng vế với vế ta được ĐFCMVí dụ 6: VớiGiải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:Cộng vế với vế ta được:Suy ra điều phải chứng minh.Ví dụ 7: VớiGiải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:Cộng vế với vế ta có điều phải chứng minh.(ĐHBKĐN 2001)Ví dụ 8: VớiGiải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:Cộng vế với vế ta được ĐFCMVí dụ 9: VớiGiải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:(Bổ đề)Áp dụng bổ đề cho biểu thức:Ta sẽ chứng minh:BĐT được chứng minhBĐT đã biếtVí dụ 10: NếuGiải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:ThìVàBĐT được chứng minhXin ch©n thµnh c¶m ¬n!