Đại số tổ hợp - Chương I: Quy tắc cơ bản của phép đếm

ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP 
 Chöông I 
QUY TAÉC CÔ BAÛN CUÛA PHEÙP ÑEÁM 
Moân ñaïi soá toå hôïp (coù saùch goïi laø giaûi tích toå hôïp) chuyeân khaûo saùt caùc hoaùn vò, 
toå hôïp, chænh hôïp, nhaèm xaùc ñònh soá caùch xaûy ra moät hieän töôïng naøo ñoù maø 
khoâng nhaát thieát phaûi lieät keâ töøng tröôøng hôïp. 
1. Trong ñaïi soá toå hôïp, ta thöôøng duøng hai quy taéc cô baûn cuûa pheùp ñeám, ñoù laø 
quy taéc coäng vaø quy taéc nhaân. 
a) Quy taéc coäng : 
 Neáu hieän töôïng 1 coù m caùch xaûy ra, hieän töôïng 2 coù n caùch xaûy ra vaø hai hieän 
töôïng naøy khoâng xaûy ra ñoàng thôøi thì soá caùch xaûy ra hieän töôïng naøy hay hieän 
töôïng kia laø : m + n caùch. 
 Ví duï 1. Töø thaønh phoá A ñeán thaønh phoá B coù 3 ñöôøng boä vaø 2 ñöôøng thuyû. Caàn 
choïn moät ñöôøng ñeå ñi töø A ñeán B. Hoûi coù maáy caùch choïn ? 
Giaûi 
Coù : 3 + 2 = 5 caùch choïn. 
Ví duï 2. Moät nhaø haøng coù 3 loaïi röôïu, 4 loaïi bia vaø 6 loaïi nöôùc ngoït. Thöïc 
khaùch caàn choïn ñuùng 1 loaïi thöùc uoáng. Hoûi coù maáy caùch choïn ? 
Giaûi 
Coù : 3 + 4 + 6 = 13 caùch choïn. 
b) Quy taéc nhaân : 
Neáu hieän töôïng 1 coù m caùch xaûy ra, öùng vôùi moãi caùch xaûy ra hieän töôïng 1 roài 
tieáp ñeán hieän töôïng 2 coù n caùch xaûy ra thì soá caùch xaûy ra hieän töôïng 1 “roài” 
hieän töôïng 2 laø : m × n. 
Ví duï 1. Giöõa thaønh phoá Hoà Chí Minh vaø Haø Noäi coù 3 loaïi phöông tieän giao 
thoâng : ñöôøng boä, ñöôøng saét vaø ñöôøng haøng khoâng. Hoûi coù maáy caùch choïn 
phöông tieän giao thoâng ñeå ñi töø thaønh phoá Hoà Chí Minh ñeán Haø Noäi roài quay 
veà? 
Giaûi 
Coù : 3 × 3 = 9 caùch choïn. 
Ví duï 2. Moät hoäi ñoàng nhaân daân coù 15 ngöôøi, caàn baàu ra 1 chuû tòch, 1 phoù chuû 
tòch, 1 uyû ban thö kyù vaø khoâng ñöôïc baàu 1 ngöôøi vaøo 2 hay 3 chöùc vuï. Hoûi coù 
maáy caùch ? 
Giaûi 
Coù 15 caùch choïn chuû tòch. Vôùi moãi caùch choïn chuû tòch, coù 14 caùch choïn phoù chuû 
tòch. Vôùi moãi caùch choïn chuû tòch vaø phoù chuû tòch, coù 13 caùch choïn thö kyù. 
Vaäy coù : 15 14 × 13 = 2730 caùch choïn. ×
2) Sô ñoà caây 
Ngöôøi ta duøng sô ñoà caây ñeå lieät keâ caùc tröôøng hôïp xaûy ra ñoái vôùi caùc baøi toaùn 
coù ít hieän töôïng lieân tieáp vaø moãi hieän töôïng coù ít tröôøng hôïp. Chuù yù ta chæ duøng 
sô ñoà caây ñeå kieåm tra keát quaû. 
Ví duï. Trong moät lôùp hoïc, thaày giaùo muoán bieát trong ba moân Toaùn, Lyù, Hoùa 
hoïc sinh thích moân naøo theo thöù töï giaûm daàn. Soá caùch maø hoïc sinh coù theå ghi laø 
: 
 HT L
 L H T H T L
H L H T L T
3. Caùc daáu hieäu chia heát 
– Chia heát cho 2 : soá taän cuøng laø 0, 2, 4, 6, 8. 
– Chia heát cho 3 : toång caùc chöõ soá chia heát cho 3 (ví duï : 276). 
– Chia heát cho 4 : soá taän cuøng laø 00 hay hai chöõ soá cuoái hôïp thaønh soá chia heát cho 
4 (ví duï : 1300, 2512, 708). 
– Chia heát cho 5 : soá taän cuøng laø 0, 5. 
– Chia heát cho 6 : soá chia heát cho 2 vaø chia heát cho 3. 
– Chia heát cho 8 : soá taän cuøng laø 000 hay ba chöõ soá cuoái hôïp thaønh soá chia heát 
cho 8 (ví duï : 15000, 2016, 13824). 
– Chia heát cho 9 : toång caùc chöõ soá chia heát cho 9 (ví duï : 2835). 
– Chia heát cho 25 : soá taän cuøng laø 00, 25, 50, 75. 
– Chia heát cho 10 : soá taän cuøng laø 0. 
 Ví duï. Töø caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 3 chöõ soá 
ñoâi moät khaùc nhau khoâng chia heát cho 9. 
Giaûi 
 Goïi : n = abc laø soá caàn laäp. 
 m = a b c′ ′ ′ laø soá goàm 3 chöõ soá khaùc nhau. 
 = m′ 1 1 1a b c laø soá goàm 3 chöõ soá khaùc nhau maø chia heát cho 9. 
Ta coù : taäp caùc soá n = taäp caùc soá m – taäp caùc soá m′ . 
* Tìm m : coù 5 caùch choïn a′ (vì a′ ≠ 0), coù 5 caùch choïn b′ (vì b ), coù 4 
caùch choïn (vì c vaø 
′ ≠ a′
c′ ′ ≠ a′ c′ ≠ b′ ). Vaäy coù : 
5 × 5 × 4 = 100 soá m. 
* Tìm m : trong caùc chöõ soá ñaõ cho, 3 chöõ soá coù toång chia heát cho 9 laø {′ }0,4,5 , 
{ }1,3,5 , { }2,3,4 . 
• Vôùi { }0,4,5 : coù 2 caùch choïn a1, 2 caùch choïn b1, 1 caùch choïn c1, ñöôïc 
2 × 2 × 1 = 4 soá m′ . 
• Vôùi { }1,3,5 : coù 3! = 6 soá m′ . 
• Vôùi { }2,3,4 : coù 3! = 6 soá m′ . 
Vaäy coù : 4 + 6 + 6 = 16 soá m′ . 
Suy ra coù : 100 – 16 = 84 soá n. 
Chuù yù : Qua ví duï treân, ta thaáy neáu soá caùch choïn thoûa tính chaát p naøo ñoù quaù 
nhieàu, ta coù theå laøm nhö sau : 
Soá caùch choïn thoûa p baèng soá caùch choïn tuyø yù tröø soá caùch choïn khoâng thoûa p. 
Ngöôøi ta coøn goïi caùch laøm naøy laø duøng “phaàn buø”. 
Baøi 1. Coù 4 tuyeán xe buyùt giöõa A vaø B. Coù 3 tuyeán xe buyùt giöõa B vaø C. Hoûi : 
a) Coù maáy caùch ñi baèng xe buyùt töø A ñeán C, qua B ? 
b) Coù maáy caùch ñi roài veà baèng xe buyùt töø A ñeán C, qua B ? 
c) Coù maáy caùch ñi roài veà baèng xe buyùt töø A ñeán C, qua B sao cho moãi tuyeán xe 
buyùt khoâng ñi quaù moät laàn ? 
Giaûi 
a) Coù 4 caùch ñi töø A ñeán B, coù 3 caùch ñi töø B ñeán C. Do ñoù, theo quy taéc nhaân, coù 
4 x 3 = 12 caùch ñi töø A ñeán C, qua B. 
b) Coù 12 caùch ñi töø A ñeán C, qua B vaø coù 12 caùch quay veà. Vaäy, coù : 
 12 × 12 = 144 caùch ñi roài veà töø A ñeán C, qua B. 
c) Coù 4 caùch ñi töø A ñeán B, coù 3 caùch ñi töø B ñeán C; ñeå traùnh ñi laïi ñöôøng cuõ, chæ 
coù 2 caùch töø C quay veà B vaø 3 caùch töø B quay veà A. 
 Vaäy coù : 4 x 3 x 2 x 3 = 72 caùch. 
Baøi 2. Moät vaên phoøng caàn choïn mua moät tôø nhaät baùo moãi ngaøy. Coù 4 loaïi nhaät baùo. 
Hoûi coù maáy caùch choïn mua baùo cho moät tuaàn goàm 6 ngaøy laøm vieäc ? 
Giaûi 
 Coù 4 caùch choïn cho moãi ngaøy. Vaäy, soá caùch choïn cho 6 ngaøy trong tuaàn laø : 46 
= 4096 caùch. 
Baøi 3. Trong moät tuaàn, Baûo ñònh moãi toái ñi thaêm 1 ngöôøi baïn trong 12 ngöôøi baïn cuûa 
mình. Hoûi Baûo coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu keá hoaïch ñi thaêm baïn neáu : 
a) Coù theå thaêm 1 baïn nhieàu laàn ? 
b) Khoâng ñeán thaêm 1 baïn quaù 1 laàn ? 
Giaûi 
a) Ñeâm thöù nhaát, choïn 1 trong 12 baïn ñeå ñeán thaêm : coù 12 caùch. Töông töï, cho 
ñeâm thöù hai, thöù ba, thöù tö, thöù naêm, thöù saùu, thöù baûy. 
 Vaäy, coù : 127 = 35831808 caùch. 
b) Ñeâm thöù nhaát, choïn 1 trong 12 baïn ñeå ñeán thaêm : coù 12 caùch. Ñeâm thöù hai, 
choïn 1 trong 11 baïn coøn laïi ñeå ñeán thaêm : coù 11 caùch. Ñeâm thöù ba : 10 caùch. 
Ñeâm thöù tö : 9 caùch. Ñeâm thöù naêm : 8 caùch. Ñeâm thöù saùu : 7 caùch. Ñeâm thöù baûy 
: 6 caùch. 
 Vaäy coù : 12.11.10.9.8.7.6 = 3991680 caùch. 
Baøi 4. Moät tuyeán ñöôøng xe löûa coù 10 nhaø ga. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn moät cuoäc 
haønh trình baét ñaàu ôû 1 nhaø ga vaø chaám döùt ôû 1 nhaø ga khaùc, bieát raèng töø nhaø ga 
naøo cuõng coù theå ñi tôùi baát kì nhaø ga khaùc? 
Giaûi 
 Nhaø ga ñi : coù 10 caùch choïn. Nhaø ga ñeán : coù 9 caùch choïn. 
 Vaäy coù : 10.9 = 90 caùch choïn. 
Baøi 5. Coù 3 nam vaø 3 nöõ caàn xeáp ngoài vaøo moät haøng gheá. Hoûi coù maáy caùch xeáp sao 
cho : 
a) Nam, nöõ ngoài xen keõ ? 
b) Nam, nöõ ngoài xen keõ vaø coù moät ngöôøi nam A, moät ngöôøi nöõ B phaûi ngoài keà 
nhau ? 
c) Nam, nöõ ngoài xen keõ vaø coù moät ngöôøi nam C, moät ngöôøi nöõ D khoâng ñöôïc ngoài 
keà nhau ? 
Giaûi 
a) Coù 6 caùch choïn moät ngöôøi tuyø yù ngoài vaøo choã thöù nhaát. Tieáp ñeán, coù 3 caùch 
choïn moät ngöôøi khaùc phaùi ngoài vaøo choã thöù 2. Laïi coù 2 caùch choïn moät ngöôøi 
khaùc phaùi ngoài vaøo choã thöù 3, coù 2 caùch choïn vaøo choã thöù 4, coù 1 caùch choïn vaøo 
choã thöù 5, coù 1 caùch choïn vaøo choã thöù 6. 
 Vaäy coù : 6.3.2.2.1.1 = 72 caùch. 
b) Cho caëp nam nöõ A, B ñoù ngoài vaøo choã thöù nhaát vaø choã thöù hai, coù 2 caùch. Tieáp 
ñeán, choã thöù ba coù 2 caùch choïn, choã thöù tö coù 2 caùch choïn, choã thöù naêm coù 1 
caùch choïn, choã thöù saùu coù 1 caùch choïn. 
 Baây giôø, cho caëp nam nöõ A, B ñoù ngoài vaøo choã thöù hai vaø choã thöù ba. Khi ñoù, 
choã thöù nhaát coù 2 caùch choïn, choã thöù tö coù 2 caùch choïn, choã thöù naêm coù 1 caùch 
choïn, choã thöù saùu coù 1 caùch choïn. 
 Töông töï khi caëp nam nöõ A, B ñoù ngoài vaøo choã thöù ba vaø thöù tö, thöù tö vaø thöù 
naêm, thöù naêm vaø thöù saùu. 
 Vaäy coù : 5 ( 2 × 2 × 2 × 1 × 1) = 40 caùch. 
c) Soá caùch choïn ñeå caëp nam nöõ ñoù khoâng ngoài keà nhau baèng soá caùch choïn tuyø yù 
tröø soá caùch choïn ñeå caëp nam nöõ ñoù ngoài keà nhau. 
 Vaäy coù : 72 – 40 = 32 caùch. 
Baøi 6. Moät baøn daøi coù 2 daõy gheá ñoái dieän nhau, moãi daõy goàm coù 6 gheá. Ngöôøi ta muoán 
xeáp choã ngoài cho 6 hoïc sinh tröôøng A vaø 6 hoïc sinh tröôøng B vaøo baøn noùi treân. 
Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp choã ngoài trong moãi tröôøng hôïp sau : 
a) Baát kì 2 hoïc sinh naøo ngoài caïnh nhau hoaëc ñoái dieän nhau thì khaùc tröôøng nhau. 
b) Baát kì 2 hoïc sinh naøo ngoài ñoái dieän nhau thì khaùc tröôøng nhau. 
Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM 1999 
Giaûi 
 Ñaùnh soá caùc gheá theo hình veõ 
a) 
V
V
Vaäy soá caùch xeáp 2 hoïc sinh ngoài caïnh hoaëc ñoái dieän phaûi khaùc tröôøng laø : 
12 × 6 × 52 × 42 × 32 × 22 × 12 = 1036800. 
b) 
Gheá 1 12 2 11 3 10 4 9 5 8 6 7 
Soá caùch xeáp choã ngoài 12 6 10 5 8 4 6 3 4 2 2 1 
 Vaäy soá caùch xeáp 2 hoïc sinh ngoài ñoái dieän phaûi khaùc laø : 
12 × 6 × 10 × 5 × 8 × 4 × 6 × 3 × 4 × 2 × 2 = 33177600. 
Baøi 7. Cho 6 chöõ soá 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hoûi töø caùc chöõ soá ñaõ cho, laäp ñöôïc maáy soá ñoâi moät 
khaùc nhau vaø : 
a) goàm 3 chöõ soá ? 
b) goàm 3 chöõ soá vaø nhoû hôn 400 ? 
c) goàm 3 chöõ soá vaø chaün ? 
d) goàm 3 chöõ soá vaø chia heát cho 5 ? 
Giaûi 
 Ñaët n = abc 
a) Coù 6 caùch choïn a, 5 caùch choïn b (b ≠ a), 4 caùch choïn c (c ≠ a, c ≠ b). 
 Vaäy coù : 6 5 × 4 = 120 soá. ×
b) Choïn a = 2 hay a = 3, coù 2 caùch. Sau ñoù, coù 5 caùch choïn b (b a), 4 caùch choïn 
c (c a, c ≠ b). 
≠
≠
 Vaäy coù : 2.5.4 = 40 soá nhoû hôn 400. 
c) Vì n chaün, coù 2 caùch choïn c (c = 2 hay c = 6). Sau ñoù, coù 5 caùch choïn a (a ≠ c), 
coù 4 caùch choïn b (b a, b ≠ ≠ c). 
 Vaäy coù : 2.5.4 = 40 soá chaün. 
Gheá 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Soá caùch xeáp choã ngoài 12 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 
21 53 64
11 12 9 8 7 10 
d) Vì n chia heát cho 5, coù 1 caùch choïn c (c = 5). Sau ñoù, coù 5 caùch choïn a (a ≠ c), 
coù 4 caùch choïn b (b a, ≠ ≠ c). 
 Vaäy coù : 1.5.4 = 20 soá chia heát cho 5. 
Baøi 8. Coù 100000 veù ñöôïc ñaùnh soá töø 00000 ñeán 99999. Hoûi soá veù goàm 5 chöõ soá khaùc 
nhau. 
Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi Khoái G 1997 
Giaûi 
 Goïn n = 1 2 3 4 5a a a a a laø soá in treân moãi veù. 
 Soá caùch choïn a1 laø 10 (a1 coù theå laø 0). 
 Soá caùch choïn a2 laø 9. 
 Soá caùch choïn a3 laø 8. 
 Soá caùch choïn a4 laø 7. 
 Soá caùch choïn a5 laø 6. 
 Vaäy soá veù goàm 5 chöõ soá khaùc nhau : 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30240. 
Baøi 9. Xeùt daõy soá goàm 7 chöõ soá (moãi chöõ soá ñöôïc choïn töø 0, 1, ., 8, 9) thoûa chöõ soá 
vò trí soá 3 laø soá chaün, chöõ soá cuoái khoâng chia heát cho 5, caùc chöõ soá 4, 5, 6 ñoâi 
moät khaùc nhau. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn. 
Ñaïi hoïc Quoác gia TP.HCM 1997 
 Goïi soá caàn tìm laø n = 1 2 7a a ...a . 
 Soá caùch choïn a3 laø 5 (do a3 chaün). 
 Soá caùch choïn a7 laø 8 (do a7≠ 0 vaø ≠ 5). 
4
5
6
Soá caùch choïn a laø 10
Soá caùch choïn a laø 9
Soá caùch choïn a laø 8
⎫⎪⎬⎪⎭
 (do a4, a5, a6 ñoâi moät khaùc nhau). 
 Soá caùch choïn a1 laø 10 (do n laø daõy soá neân a1 coù theå laø 0). 
 Soá caùch choïn a2 laø 10. 
 Vaäy soá caùch choïn laø : 5 × 8 × 10 × 9 × 8 × 10 × 10 = 2880000. 
Baøi 10. Cho 10 chöõ soá 0, 1, 2, , 7, 8, 9. Coù bao nhieâu soá leû coù 6 chöõ soá khaùc 
nhau nhoû hôn 600000 xaây döïng töø caùc chöõ soá treân. 
Ñaïi hoïc Y Haø Noäi 1997 
Giaûi 
 Goïi soá caàn tìm n = 1 2 6a a ...a vôùi 1≤ a1 ≤ 5 vaø a6 leû. 
 Ñaët X = { }0, 1, ..., 8, 9 
• Tröôøng hôïp 1 : a1 leû 
 a1 ∈ { }1, 3, 5 coù 3 caùch choïn 
 a6 ∈ { }1, 3, 5, 7, 9 \ { }1a coù 4 caùch choïn 
 a2 ∈ X\{ }1 6a , a coù 8 caùch choïn 
 a3 ∈ X\{ }1 6 2a , a , a coù 7 caùch choïn 
 a4 ∈ X\{ }1 6 2 3a , a , a , a coù 6 caùch choïn 
 a5 ∈ X\{ }1 6 2 3 4a , a , a , a , a coù 5 caùch choïn. 
• Tröôøng hôïp 2 : a1 chaün 
 a1 ∈ { }2, 4 coù 2 caùch choïn 
 a6 ∈ { }1, 3, 5, 7, 9 coù 5 caùch choïn. 
 Töông töï a2, a3, a4, a5 coù 8 × 7 × 6 × 5 caùch choïn. 
 Do ñoù soá caùc soá n thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 
 (4 × 3 + 2 × 5) x 8 × 7 × 6 × 5 = 36960. 
Baøi 11. Cho X = { }0, 1, 2, 3, 4, 5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù 8 chöõ soá töø X 
maø chöõ soá 1 coù maët ñuùng 3 laàn coøn caùc chöõ soá khaùc coù maët ñuùng 1 laàn. 
Giaûi 
 Xeùt 1 hoäc coù 8 oâ troáng. 
 Coù 7 caùch laáy chöõ soá 0 boû vaøo hoäc (do a1≠ 0) 
 Coù 7 caùch laáy chöõ soá 2 boû vaøo hoäc do coøn 7 hoäc troáng 
 Coù 6 caùch laáy chöõ soá 3 boû vaøo hoäc do coøn 6 hoäc troáng 
 Coù 5 caùch laáy chöõ soá 4 boû vaøo hoäc do coøn 5 hoäc troáng 
 Coù 4 caùch laáy chöõ soá 5 boû vaøo hoäc do coøn 4 hoäc troáng 
Coù 1 caùch laáy 3 chöõ soá 1 boû vaøo hoäc do coøn 3 hoäc troáng vaø 3 chöõ soá 1 nhö nhau. 
Vaäy soá caùc soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 7 × 7 × 6 × 5 × 4 = 5880. 
Baøi 12. Ngöôøi ta vieát ngaãu nhieân caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5 leân caùc taám phieáu, sau 
ñoù xeáp ngaãu nhieân thaønh 1 haøng. 
a) Coù bao nhieâu soá leû goàm 6 chöõ soá ñöôïc taïo thaønh. 
b) Coù bao nhieâu soá chaün goàm 6 chöõ soá ñöôïc taïo thaønh. 
Ñaïi hoïc Hueá 1999 
Giaûi 
 Goïi X = { }0, 1, 2, 3, 4, 5 . 
 Soá caàn tìm n = 1 2 3 4 5 6a a a a a a . 
a) a6 ∈ { }1, 3, 5 coù 3 caùch choïn 
 a1 ∈ X\{ }60, a coù 4 caùch choïn 
 a2 ∈ X\{ }6 1a , a coù 4 caùch choïn 
 a3 ∈ X\{ }6 1 2a , a , a coù 3 caùch choïn 
 a4 ∈ X\{ }6 1 2 3a , a , a , a coù 2 caùch choïn 
 a5 ∈ X\{ }6 1 2 3 4a , a , a , a , a coù 1 caùch choïn 
 Soá caùc soá leû caàn tìm : 3 × 4 × 4 × 3 × 2 = 288. 
b) Soá caùc soá goàm 6 chöõ soá baát kì (a1 coù theå baèng 0) laø : 
 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 
 Soá caùc soá goàm 6 chöõ soá maø a1 = 0 laø : 
 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 
 Vaäy soá caùc soá goàm 6 chöõ soá (a1≠ 0) laáy töø X 
 720 – 120 = 600 
 Maø soá caùc soá leû laø 288. Vaäy soá caùc soá chaün laø : 
 600 – 288 = 312. 
Caùch khaùc 
Coù 5! Soá chaün vôùi a6 = 0. 
Coù 2.4.4! soá chaün vôùi a6 = 2 hay a6 = 4. 
Vaäy soá caùc soá chaün thoûa ycbt laø 5! + 2.4.4! = 312. 
Baøi 13. Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá chaün goàm 5 chöõ soá khaùc nhau laáy töø 0, 2, 3, 
6, 9. 
Ñaïi hoïc Y Haø Noäi 1999 
Giaûi 
 Ñaët X = { }0, 2, 3, 6, 9 vaø n = 1 2 3 4 5a a a a a (a1≠ 0) 
• Tröôøng hôïp a1 leû 
 a1 ∈ { }3, 9 coù 2 caùch choïn 
 a5 ∈ { }0, 2, 6 coù 3 caùch choïn 
 a2 ∈ X\{ }1 5a , a coù 3 caùch choïn 
 a3 ∈ X\{ }1 5, 2a , a a coù 2 caùch choïn 
 a4 ∈ X\{ }1 5 2 3a , a , a , a coù 1 caùch choïn. 
 Vaäy coù : 2 3 × 3 × × 2 = 36 soá n chaün. 
• Tröôøng hôïp a1 chaün 
 a1 ∈ { }2, 6 coù 2 caùch choïn. 
 a5 ∈ { }0, 2, 6 \{ }1a coù 2 caùch choïn. 
 Töông töï treân soá caùch choïn a2, a3, a4 laø 3 × 2 × 1 
 Vaäy coù : 2 2 × 3 × × 2 = 24 soá. 
 Vaäy soá caùc soá n chaün laø : 36 + 24 = 60 soá. 
Caùch 2: 
Coù 4! Soá chaün vôùi a5 = 0. 
Coù 2.3.3! soá chaün vôùi a5 = 2 hay a5 = 6. 
Vaäy soá caùc soá chaün thoûa ycbt laø 4! + 2.3.3! = 60. 
Baøi 14. Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 7 chöõ soá sao cho toång caùc chöõ soá cuûa moãi 
soá laø moät soá leû. 
Giaûi 
 Goïi n = 1 2 6 7a a ...a a (a1≠ 0). 
 Neáu a1 + a2 +  + a6 laø moät soá chaün ñeå n leû thì a7 ∈ { }1, 3, 5, 7, 9 . 
 Neáu a1 + a2 +  + a6 laø moät soá leû ñeå n leû thì a7 ∈ { }0, 2, 4, 6, 8 . 
 Vaäy khi ñaõ choïn ñöôïc a1, a2, a3, a4, a5, a6 thì luoân coù 5 caùch choïn a7 ñeå toång caùc 
chöõ soá cuûa n laø soá leû. 
 Maø soá caùch choïn cuûa caùc ai (i = 1,6 ) laø : 
 a1 a2 a3 a4 a5 a6 
Soá caùch choïn 9 10 10 10 10 10 
 Do ñoù soá caùc soá n thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø 
 9 × 105 × 5 = 45 × 105. 
Baøi 15. Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 7 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 5. 
Giaûi 
 Goïi n = 1 2 7a a ...a (a1 0) ≠
 Ñeå n chia heát cho 5 thì a7 = 0 hay a7 = 5. 
• Tröôøng hôïp a7 = 0 
 a1 a2 a3 a4 a5 a6 
Soá caùch choïn 9 8 7 6 5 4 
 Vaäy coù : 9 8 × 7 × 6 × × 5 × 4 soá . 
• Tröôøng hôïp a7 = 5 
 a1 a2 a3 a4 a5 a6 
Soá caùch choïn 8 8 7 6 5 4 
 Vaäy coù : 8 8 × 7 × × 6 × 5 × 4 soá. 
 Do ñoù soá caùc soá töï nhieân coù 7 chöõ soá maø chia heát cho 5 laø : 
 (9 + 8) ×8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 114240. 
Baøi 16. Cho X = { }0, 1, 2, 3, 4, 5 . 
a) Coù bao nhieâu soá chaün coù 4 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät. 
b) Coù bao nhieâu soá coù 3 chöõ soá khaùc nhau chia heát cho 5. 
c) Coù bao nhieâu soá coù 3 chöõ soá khaùc nhau chia heát cho 9. 
Ñaïi hoïc Hueá 2000 
Giaûi 
a) Goïi n = 1 2 3 4a a a a (a1 ≠ 0) 
• Neáu a1 chaün 
 a1 a4 a2 a3 
Soá caùch choïn 2 2 4 3 
• Neáu a1 leû 
 a1 a4 a2 a3 
Soá caùch choïn 3 3 4 3 
 Vaäy soá caùc soá chaün coù 4 chöõ soá khaùc nhau laø : 
 2 × 2 × 4 × 3 + 3 × 3 × 4 × 3 = 48 + 108 = 156. 
b) Goïi m = 1 2 3a a a (a1≠ 0) 
• Neáu a3 = 0 
 a1 a2 
Soá caùch choïn 5 4 
• Neáu a3 = 5 
 a1 a2 
Soá caùch choïn 4 4 
 Vaäy soá caùc soá m chia heát cho 5 laø : 20 + 16 = 36. 
c) Goïi k = 1 2 3a a a vôùi a1 + a2 + a3 = 9, a1≠ 0 
 Xeùt X1 = { }0, 4, 5 X ⊂
 a1 a2 a3 
Soá caùch choïn 2 2 1 
 Xeùt X2 = { }2, 3, 4 ⊂ X 
 a1 a2 a3 
Soá caùch choïn 3 2 1 
 Xeùt X3 = { }1, 3, 5 X ⊂
 a1 a2 a3 
Soá caùch choïn 3 2 1 
 Vaäy soá caùc soá k chia heát cho 9 laø : 4 + 6 + 6 = 16. 
Baøi 17. Cho X = { }0, 1, 2, 3, 4, 5 . Hoûi coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù 3 chöõ soá 
khaùc nhau maø soá ñoù khoâng chia heát cho 3. 
Ñaïi hoïc Laâm Nghieäp 1999 
Giaûi 
 Goïi soá caàn tìm n = 1 2 3a a a (a1 ≠ 0) 
 n chia heát cho 3 a1 + a2 + a3 laø boäi soá cuûa 3. ⇔
• Soá caùc soá n baát kì choïn töø X laø 5 × 5 × 4 = 100 vì 
 a1 a2 a3 
Soá caùch choïn 5 5 4 
• Caùc taäp con cuûa X coù 3 phaàn töû maø toång chia heát cho 3 laø 
 X1 = { }0, 1, 2 , X2 = { }0, 1, 5 , X3 = { }0, 2, 4 , X4= { }0, 4, 5 
 X5 = { }1, 2, 3 , X6 = { }1, 3, 5 , X7 = { }2, 3, 4 , X8= { }3, 4, 5 
 Soá caùc soá n chia heát cho 3 ñöôïc choïn töø X1, X2, X3, X4 laø : 
 4 × 2 × 2 × 1 = 16 soá. 
 Soá caùc soá n chia heát cho 3 ñöôïc choïn töø X5, X6, X7, X8 laø : 
 4 × 3 × 2 × 1 = 24 soá. 
 Vaäy soá caùc soá n chia heát cho 3 laø : 16 + 24 = 40 soá. 
 Do ñoù soá caùc soá n khoâng chia heát cho 3 laø : 100 – 40 = 60 soá. 
(coøn tieáp) 
PHAÏM HOÀNG DANH - NGUYEÃN VAÊN NHAÂN - TRAÀN MINH QUANG 
(Trung taâm boài döôõng vaên hoùa vaø luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)