Đại số tổ hợp - Chương IV Tổ hợp

 nhất là 2 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao 
nhiêu cách chọn. 
Cao đẳng Sư phạm Hà Nội 1999 
Giải 
 Số cách chọn 3 em nam và 2 em nữ : 310C .
2
10C 
 Số cách chọn 2 em nam và 3 em nữ : 210C .
3
10C 
 Vậy số cách thỏa yêu cầu bài toán là : 
 2 = 2310C .
2
10C
10!
3!7!
. 10!
2!8!
 = 2 10 9 8
6
× × . 10 9
2
× = 10.800. 
Bài 82. Một đội cảnh sát gồm có 9 người. Trong ngày cần 3 người làm nhiệm vụ tại 
địa điểm A, 2 người làm tại B còn lại 4 người trực đồn. Hỏi có bao nhiêu cách 
phân công ? 
Học viện Kỹ Thuật Quân sự 2000 
Giải 
 Số cách phân công 3 người tại A : 39C 
 Số cách phân công 2 người tại B : 26C
 Số cách phân công 4 người còn lại : 1. 
 Vậy số cách phân công là : 
 39C .
2
6C =
9!
3!6!
. 6!
2!4!
 = 9!
3!2!4!
 = 9 8 7 6 5
6 2
× × × ×
× = 1260. 
Bài 83. Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lí nam. Muốn lập 1 
đoàn công tác có 3 người gồm cả nam lẫn nữ, cần có cả nhà toán học lẫn vật lí. 
Hỏi có bao nhiêu cách chọn. 
Đại học Y Hà Nội 2000 
Giải 
 Số cách chọn 2 nhà Toán học nữ và 1 nhà Vật lí nam là : 
 23C × 4 = 3!2! × 4 = 12 
 Số cách chọn 1 nhà Toán học nữ và 2 nhà Vật lí nam là : 
 3 × = 3 24C × 4!2!2! = 
3.4.3
2
 = 18 
 Số cách chọn 1 nhà Toán học nữ, 1 nhà Toán học nam và 1 nhà Vật lí nam là : 
 5 × 3 × 4 = 60 
 Vậy có cách chọn đoàn công tác là : 12 + 18 + 60 = 90. 
Bài 84. Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách 
chia đội văn nghệ : 
a) Thành 2 nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau. 
b) Có bao nhiêu cách chọn 5 người trong đó không quá 1 nam. 
Học viện Chính trị 2001 
Giải 
a) Do mỗi nhóm có số người bằng nhau nên mỗi nhóm phải có 5 người. 
 Do số nữ bằng nhau nên mỗi nhóm phải có 3 nữ. 
 Vậy mỗi nhóm phải có 3 nữ và 2 nam. 
 Số cách chọn là : 
 . = 36C
2
4C
6!
3!3!
 × 4!
2!2!
 = 6 5 4
6
× × × 4 3
2
× = 20 × 6 = 120. 
b) Số cách chọn 5 người toàn nữ là : 56C =
6!
5!
 = 6. 
 Số cách chọn 4 nữ và 1 nam là : 46C × 4 = 6!4!2! × 4 = 
6 5
2
× × 4 = 60 
 Vậy số cách chọn 5 người mà không quá 1 nam : 6 + 60 = 66. 
Bài 85. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó 
ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư đó lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ 
dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy. 
Tú tài 1999 
Giải 
 Số cách chọn 3 tem từ 5 tem là = 35C
5!
3!2!
 = 10. 
 Số cách chọn 3 bì thư từ 6 bì thư là = 36C
6!
3!3!
 = 20. 
 Do các tem đều khác nhau, các bì thư cũng khác nhau, nên số cách dán 3 tem 
lên 3 bì thư là 3! = 6. 
 Vậy số cách làm là : . .3! = 10.20.6 = 1200 cách. 35C
3
6C
Bài 86. Một bộ bài có 52 lá; có 4 loại : cơ, rô, chuồn, bích mỗi loại có 13 lá. Muốn lấy 
ra 8 lá bài trong đó phải có đúng 1 lá cơ, đúng 3 lá rô và không quá 2 lá bích. 
Hỏi có mấy cách ? 
Giải 
 Số cách chọn 1 lá cơ và 3 lá rô : cách. 113C .
3
13C
• Trường hợp 1 : Chọn tiếp 4 lá chuồn (nghĩa là không có lá bích nào) có : 413C 
cách. 
• Trường hợp 2 : Chọn tiếp 1 lá bích và 3 lá chuồn có : 13. 313C cách. 
• Trường hợp 3 : Chọn tiếp 2 lá bích và 2 lá chuồn có : 213C . 213C cách. 
Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu đề toán : 
 13. ( + 13. + . ) = 39 102 206 cách. 313C
4
13C
3
13C
2
13C
2
13C
Bài 87. Có 2 đường thẳng song song (d1) và (d2). Trên (d1) lấy 15 điểm phân biệt. Trên 
(d2) lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi số tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm đã lấy. 
Giải (d1)
(d2)
Bk Bj
Ai 
 Có hai loại tam giác tạo thành. 
a) Một đỉnh trên (d1) và 2 đỉnh trên (d2) 
 Có 15 cách lấy 1 đỉnh trên (d1) 
 Có cách lấy 2 đỉnh trên (d2). 29C
Ai
Bk
(d2)
(d1)Aj 
b) Hai đỉnh trên (d1) và 1 đỉnh trên (d2) 
 Có cách lấy 2 đỉnh trên (d1) 215C
 9 cách lấy 1 đỉnh trên (d2). 
 Vậy số tam giác tạo thành : 
 15 + 9 = 15.29C
2
15C
9!
2!7!
 + 9. 15!
2!13!
 = 540 + 945 = 1485. 
Bài 88. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 
người đi dự hội nghị của trường sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp. 
Đại học Giao thông Vận tải 2000 
Giải 
 Số cách chọn 3 người trong đó có 1 cán bộ lớp 
 2 × 218C = 2 × 18!2!16! = 18 × 17 
 Số cách chọn 3 người trong đó có 2 cán bộ lớp 
 1 = 18 118C
 Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là : 
 18 × 17 + 18 = 182 = 324. 
Bài 89. Có 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách 
chia số học sinh thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người, đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 
học sinh khá. 
Học viện Quân sự 2001 
Giải 
Vì mỗi tổ đều có học sinh giỏi nên số học sinh giỏi mỗi tổ là 1 hay 2. 
 Vì mỗi tổ đều có ít nhất 2 học sinh khá nên số học sinh khá mỗi tổ 2 hay 3. 
Do đó nếu xem số học sinh giỏi, khá, trung bình mỗi tổ là tọa độ một vectơ 3 
chiều ta có 4 trường hợp đối với tổ 1 là (1, 2, 5) (1, 3, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 3). 
Tương ứng 4 trường hợp đối với tổ 2 là : (2, 3, 3), (2, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 2, 5). 
Ta thấy có 2 trường hợp bị trùng. Vậy chỉ có 2 trường hợp là : 
Trường hợp 1 : 
Số cách chọn một tổ nào đó có 1 giỏi, 2 khá và 5 trung bình là : 
 3 × 25C × 58C 
Vậy tổ còn lại có 2 giỏi, 3 khá, 3 trung bình thỏa yêu cầu bài toán. 
Trường hợp 2 : 
Số cách chọn một tổ có 1 giỏi, 3 khá và 4 trung bình là : 
 3 × 35C × 48C 
Vậy tổ còn lại có 2 giỏi, 2 khá và 4 trung bình thỏa yêu cầu bài toán. 
Do đó số cách chia học sinh làm 2 tổ thỏa yêu cầu bài toán là : 
 3 + 3 = 325C
5
8C
3
5C
4
8C
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
5! 8! 8! 3780.
2!3! 5!3! 4!4!
Bài 90. Một người có 12 cây giống trong đó có 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi. 
Người đó muốn chọn 6 cây giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho 
a) Mỗi loại có đúng 2 cây. b) Mỗi loại có ít nhất 1 cây. 
Trường Hàng không 2000. 
Giải 
a) Số cách chọn 2 cây xoài trong 6 cây xoài : 26C 
 Số cách chọn 2 cây mít trong 4 cây mít : 24C 
 Số cách chọn 2 cây ổi trong 2 cây ổi : 1 
 Vậy số cách chọn mà mỗi loại đúng 2 cây : = 90 cách. 26C .
2
4C
b) Chọn 1 cây ổi, 4 mít, 1 xoài : 2 × 1 × 6 = 12 cách. 
 Chọn 1 ổi, 3 mít và 2 xoài có : 2 . = 2 34C
2
6C × 4 × 15 = 120 cách. 
 Chọn 1 ổi, 2 mít và 3 xoài có : 2 = 240 cách. 24C .
3
6C
 Chọn 1 ổi, 1 mít và 4 xoài có : 2 × 4 × = 120 cách. 46C
 Chọn 2 ổi, 3 mít và 1 xoài có : 1 × 34C × 6 = 24 cách. 
 Chọn 2 ổi, 2 mít và 2 xoài có : 1 × 24C × = 90 cách. 26C
 Chọn 2 ổi, 1 mít và 3 xoài có : 1 × 4 × = 80 cách. 36C
 Vậy số cách chọn mà mỗi loại có ít nhất 1 cây là : 
 12 + 120 + 240 + 120 + 24 + 90 + 80 = 686 cách. 
Bài 91. Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn để 
lập 1 tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau và phải có ít nhất 2 nữ. 
Đại học Huế 2000 
Giải 
 Số cách chọn 6 học sinh bất kì nam hay nữ : 645C =
45!
6!39!
 = 8145060. 
 Số cách chọn 6 học sinh toàn nam : 630C =
30!
6!24!
 = 593775. 
 Số cách chọn 5 nam và 1 nữ : 530C × 15 = 30!25!5! × 15 = 2137590. 
 Vậy có số cách chọn 6 học sinh trong đó phải có ít nhất 2 nữ 
 – ( + 15 ) = 5413695 cách. 645C
6
30C
5
30C
Bài 92. Cho tập con gồm 10 phần tử khác nhau. Tìm số tập con khác rỗng chứa 1 số 
chẵn các phần tử. 
Đại học Nông nghiệp khối B 2000 
Giải 
 Khi tập X có n phần tử thì số tập con của X có k phần tử là knC
 Do đó n = 10 thì : 
 Số tập con của X có 2 phần tử là 210C
 Số tập con của X có 4 phần tử là 410C
 Số tập con của X có 6 phần tử là 610C
 Số tập con của X có 8 phần tử là 810C
 Số tập con của X có 10 phần tử là . 1010C
 Vậy số tập con thỏa yêu cầu bài toán là : 
 S = + + + + 210C
4
10C
6
10C
8
10C
10
10C
 ⇔ S = 2 + 2 + 1 (do = và = ) 210C 410C 210C 810C 410C 610C
 ⇔ S = 2. 10!
2!8!
 + 2. 10!
4!6!
 + 1 = 511. 
Bài 93. Một tổ sinh viên có 20 em. Trong đó chỉ có 8 em biết nói tiếng Anh, 7 em biết 
tiếng Pháp và 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần chọn 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em 
biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu 
cách lập nhóm. 
Đại học Sư phạm Vinh 1999 
Giải 
 Số cách lập nhóm sinh viên biết tiếng Anh : 38C
 Số cách lập nhóm sinh viên biết tiếng Pháp: 47C
 Số cách lập nhóm sinh viên biết tiếng Đức : . 25C
 Vậy số cách lập thỏa yêu cầu bài toán là : 
 × = 38C 47C × 25C 8!3!5! × 
7!
4!3!
 × 5!
2!3!
 = 1960 cách. 
Bài 94. Trong 1 hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng , các quả cầu 
đều khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách 
chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu. 
Đại học Nông lâm khối D 2001 
Giải 
 Số cách chọn 2 quả cầu xanh, 1 đỏ, 1 vàng là : . . = 420 27C
1
5C
1
4C
 Số cách chọn 1 quả cầu xanh, 2 đỏ và 1 vàng là : . . = 280 17C
2
5C
1
4C
 Số cách chọn 1 quả cầu xanh, 1 đỏ và 2 vàng là : . . = 210 17C
1
5C
2
4C
 Vậy số cách chọn 4 quả cầu đủ 3 màu là : 
 420 + 280 + 210 = 910. 
Bài 95. Một hộp chứa 6 bi trắng và 5 bi đen. Hỏi có mấy cách lấy ra 4 bi : 
a) màu tùy ý ? b) gồm 2 bi trắng và 2 bi đen ? 
Giải 
a) Lấy ra 4 bi màu tùy ý từ 11 bi là tổ hợp chập 4 của 11 phần tử. 
 Vậy có : = 411C
11!
4!7!
 = 8.9.10.11
2.3.4
 = 3.10.11 = 330 cách. 
b) Lấy ra 2 bi trắng trong 6 bi trắng là tổ hợp chập 2 của 6 phần tử. 
 Lấy ra 2 bi đen trong 5 bi đen là tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. 
 Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là : 
 . = 26C
2
5C
6!
2!4!
. 5!
2!3!
 = 15.10 = 150 cách. 
Bài 96. Một hộp có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 
 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5, 
 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. 
a) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng màu, 3 quả cầu cùng số. 
b) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu khác màu ? 3 quả cầu khác màu và khác số. 
Đại học Dân lập Thăng Long 1999 
Giải 
a) Số cách lấy 3 quả cầu cùng xanh : = • 36C 6!3!3! = 20 
 Số cách lấy 3 quả cầu cùng đỏ : = 35C
5!
3!2!
 = 10 
Số cách lấy 3 quả cầu cùng vàng : = 34C
4!
3!
 = 4 
Vậy số cách lấy 3 quả cầu cùng màu : + + = 34. 36C
3
5C
3
4C
• Số cách lấy 3 quả cầu cùng số 1 : 1 
 Số cách lấy 3 quả cầu cùng số 2 : 1 
 Số cách lấy 3 quả cầu cùng số 3 : 1 
 Số cách lấy 3 quả cầu cùng số 4 : 1 
Vậy số cách lấy 3 quả cầu cùng số : 4. 
b) Số cách lấy 1 quả cầu xanh : 6 •
 Số cách lấy 1 quả cầu đỏ : 5 
 Số cách lấy 1 quả cầu vàng : 4 
Vậy số cách lấy 3 quả cầu khác màu : 6 × 5 × 4 = 120. 
• Chọn bất kì 1 quả cầu vàng Vi (i = 1,4 ) có 4 cách 
 sau đó chọn 1 quả cầu đỏ Đj (j = 1,5 và j ≠ i) có 4 cách 
 chọn 1 quả cầu xanh Xk (k = 1,6 và k ≠ j, i) có 4 cách 
 Do đó chọn 3 bi khác màu và khác số có 
 4 × 4 × 4 = 64 cách. 
Bài 97. Có 9 viên bi xanh, 5 đỏ, 4 vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu 
cách chọn ra : 
a) 6 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi đỏ, 
b) 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ. 
Đại học Cần Thơ 2000 
Giải 
a) Số cách chọn 2 bi đỏ : 25C
 Số cách chọn 4 bi xanh hay vàng : 413C
 Vậy số cách chọn 6 bi có đúng 2 bi đỏ 
 . = 25C
4
13C
5!
2!3!
. 13!
4!9!
 = 5 4
2
× × 13 12 11 10
4 3 2
× × ×
× × = 7150. 
b) Số cách chọn 1 bi xanh, 1 bi đỏ, 4 bi vàng : 9 × 5 × 1 = 45. 
 Số cách chọn 2 bi xanh, 2 bi đỏ, 2 bi vàng : 
 . . = 29C
2
5C
2
4C
9!
2!7!
. 5!
2!3!
. 4!
2!2!
= 2160. 
 Số cách chọn 3 bi xanh và 3 bi đỏ : 
 . = 39C
3
5C
9!
3!6!
. 5!
3!2!
 = 840. 
 Vậy số cách chọn 6 bi mà số bi xanh bằng bi đỏ : 
 45 + 2160 + 840 = 3045. 
Bài 98. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa 
xem như đôi một khác nhau). Người ta muốn chọn ra 1 bông hoa gồm 7 bông. 
Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó : 
a) Có đúng 1 bông hồng đỏ. 
b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ 
Đại học Quốc gia TP. HCM khối D 2000 
Giải 
a) Số cách chọn 1 bông hồng đỏ : 4 
 Số cách chọn 6 bông còn lại (vàng hay trắng) : 68C
 Vậy số cách chọn đúng 1 bông đỏ : 4 = 112. 68C
b) Số cách chọn 3 bông vàng, 3 bông đỏ, 1 bông trắng : 
 × 35C 34C × 3 = 120 
 Số cách chọn 4 bông vàng và 3 bông đỏ : 
 = 20 45C × 34C
 Số cách chọn 3 bông vàng và 4 bông đỏ : 
 × = 10 35C 44C
 Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là : 
 120 + 20 + 10 = 150 cách. 
Bài 99. Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào 1 hộc có 7 ô 
trống. 
a) Hỏi có mấy cách xếp khác nhau. 
b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh 
xếp cạnh nhau. 
Học viện Quân Y 2000 
Giải 
a) Xếp 3 bi đỏ khác nhau vào hộc có 7 ô trống có : cách. 37A
 Còn 4 ô trống xếp 3 bi xanh giống nhau vào có cách. 34C
 Vậy có : . = 37A
3
4C
7!
4!
 × 4!
3!1!
 = 7 × 6 × 5 × 4 = 840 cách. 
b) Số cách xếp 3 bi đỏ đứng cạnh nhau : 3! 
 Số cách xếp 3 bi xanh đứng cạnh nhau : 1 
 Số cách xếp 2 loại bi đỏ, xanh vào để ô thứ 1 trống : 2! 
 Số cách xếp 2 loại bi đỏ, xanh vào để ô thứ 4 trống : 2! 
 Số cách xếp 2 loại bi đỏ, xanh vào để ô thứ 7 trống : 2! 
 × × × 0 0 0 × × × 0 0 0 × × × 0 0 0 
 Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là : 
 3! (2 + 2 + 2) = 36 cách. 
Cách khác 
Bước 1 :Số cách xếp 3 bi đỏ đứng cạnh nhau : 3! 
 Số cách xếp 3 bi xanh đứng cạnh nhau : 1 
Bước 2: Xem như xếp hai vật khác nhau vào 3 ô trống ta có: 23A 3!= . 
Vậy có 3!.3! =36 cách. 
Bài 100. Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Người ta chọn 4 bi từ hộp. Hỏi 
có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu. 
Đ ại học Huế 1999 
Giải 
 Số cách chọn 4 bi bất kì trong 15 bi trên là : 
 = 415C
15!
4!11!
 = 15 14 13 12
24
× × × = 1365. 
 Số cách chọn 2 bi đỏ, 1 bi trắng, 1 bi vàng : 
 5 6 = 24C × × 4!2!2! × 30 = 180 
 Số cách chọn 1 bi đỏ, 2 bi trắng, 1 bi vàng: 
 4 × 6 = 24 25C × × 5!2!3! = 24 × 
5 4
2
× = 240 
 Số cách chọn 1 bi đỏ, 1 bi trắng, 2 bi vàng : 
 4 × 5 × = 20 26C × 62!4! = 10 × 6 × 5 = 300 
 Vậy số cách chọn bi đủ 3 màu là : 
 180 + 240 + 300 = 720 
 Do đó số cách chọn bi không đủ 3 màu : 
 1365 – 720 = 645. 
Bài 101. 
a) Cho k, n ∈ N và k < n . Chứng minh : + knC k 1nC + = k 1n 1C ++ . 
b) Một đa giác lồi n cạnh (n > 3) có mấy đường chéo. 
Đại học Quốc gia TP. HCM khối D 1998 
Giải 
a) Ta có : = knC +
k 1
nC
+ ( )
n!
k! n k !− + ( )
n!
(k 1)! n k 1 !+ − − 
 = ( )
n!(k 1) n!(n k)
(k 1)! n k !
+ + −
+ − = 
[ ]
( )
n! (k 1) (n k)
(k 1)! n k !
+ + −
+ − 
 = ( )
n!(n 1)
(k 1)! n k !
+
+ − = ( )
(n 1)!
(k 1)! n k !
+
+ − = . 
k 1
n 1C
+
+
b) Nối 2 đỉnh bất kì trong n đỉnh ta được cạnh 
hoặc đường chéo. 
 Vậy tổng số cạnh và đường chéo là . 2nC
 Mà n giác lồi có n cạnh nên số đường chéo là : 
 – n = 2nC ( )
n!
2! n 2 !− – n = 
n(n 1)
2
− – n = n(n 3)
2
− . 
Bài 102*. Cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 đỉnh của 
H. 
a) Có bao nhiêu tam giác như vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là 2 
cạnh của H. 
b) Có mấy tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H ? Có mấy tam giác không có 
cạnh nào là cạnh của H ? 
Học viện Ngân hàng TP. HCM 2000 
Giải 
a) Số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 đỉnh của H : •
A3
4 
A5
A0A1 
A2
A
 320C =
20!
3!17!
 = 20 19 18
6
× × = 1140. 
• Cứ mỗi đỉnh của H cùng với 2 đỉnh kề bên tạo 
thành 1 tam giác có 2 cạnh là cạnh của H. Các 
tam giác này không trùng nhau và không có 
cách nào khác để tạo tam giác có 2 cạnh là 
cạnh của H. 
Mà H có 20 đỉnh. Vậy có 20 tam giác có đúng 2 cạnh 
là cạnh của H. 
A2
A4 
A5
A20 
A1
A3 
b) Xét các tam giác mà 1 đỉnh là A1 : Ta xét trường hợp bỏ đi 4 cạnh A1A2, 
A2A3, A1A20, A20A19 thì có 16 tam giác mà đỉnh là A1 và có đúng 1 cạnh là 
cạnh của H ( nhớ là H có 20 cạnh ). 
•
 Mà H có 20 đỉnh, vậy số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H là : 
 20 × 16 = 320. 
 Do đó số tam giác không có cạnh nào là cạnh của H là : •
 1.140 – (20 + 320) = 800. 
Bài 103*. Trên mặt phẳng cho 1 thập giác lồi. Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó là 3 
đỉnh của thập giác. Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 
cạnh của nó đều không phải là 3 cạnh của thập giác. 
Đại học Ngoại thương khối A 2001. 
Giải 
 Số tam giác mà 3 đỉnh là 3 đỉnh của thập giác : = 120. 310C
 Số tam giác mà 3 đỉnh là 3 đỉnh của thập giác và có 2 cạnh là cạnh thập giác 
(có các đỉnh phải là 3 đỉnh liên tiếp của thập giác) : 10. 
Số tam giác mà 3 đỉnh là 3 đỉnh của thập giác và có 1 cạnh là cạnh thập giác 
(có được bằng cách nối 1 đỉnh bất kì của thập giác với 2 đỉnh của 1 cạnh thập 
giác trừ đi 4 cạnh kề bên hai đỉnh đó) : 10 × 6 = 60. 
 Do đó số tam giác mà 3 cạnh đều không phải là 3 cạnh của thập giác : 
 120 – (10 + 60) = 50. 
Bài 104*. Cho đa giác A1A2A2n (n ∈ N và n 2) nội tiếp trong đường tròn (O). Biết ≥
 rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A1, A2, , A2n nhiều gấp 20 lần số 
 hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh A1, A2,, A2n. Tìm n. 
Tuyển sinh Đại học khối B 2002 
Giải 
 Số tam giác tạo thành : •
 = 32nC ( )
(2n)!
3! 2n 3 !− = 
1
6
(2n)(2n – 1)(2n – 2). 
N 
M′
N′
M
0 Vì đa giác đều và số đỉnh chẵn nên số cặp điểm 
đối xứng qua tâm O là n 
•
 Chọn 2 đỉnh bất kì M, M′ đối xứng qua O có n cách. 
 Chọn 1 đỉnh N bất kì trong các đỉnh còn lại có 2n – 2 cách. 
 Luôn luôn tìm được đối xứng qua tâm O để MNN′ M′ N′ là hình chữ nhật. 
 Nhưng do mỗi hình chữ nhật MNM′ N′ như vậy bị đếm trùng lại 4 lần nên số 
hình chữ nhật tạo thành là : 
 n(2n 2)
4
− = n(n 1)
2
− 
 Do số tam giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật, nên : 
 n
3
(2n – 1)(2n – 2) = n(n 1)
2
− × 20 
 (2n – 1)(2n – 2) = 30(n – 1) (do n ≥ 2) ⇔
 (2n – 1) = 15 ⇔ ⇔ n = 8. 
Bài 105. Trong 1 trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ 
trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn 1 nhóm gồm 3 trong số 50 học sinh 
trên đi dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh 
em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? 
 Đại học Sư phạm Hà Nội 1999 
Giải 
 Số cách chọn 3 học sinh bất kì : = 19600 350C
 Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 cặp sinh đôi 
 4. = 4 × 48 = 192 148C
 Do đó số cách chọn 3 học sinh mà không có cặp nào sinh đôi 
 – 4 = 19600 – 192 = 19408. 350C
1
4