Đại số tuyến tính - §8: Giải bài tập về ma trận nghịch đảo

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
§8. Giải bài tập về ma trận nghịch đảo
Phiên bản đã chỉnh sửa
PGS TS Mỵ Vinh Quang
Ngày 29 tháng 12 năm 2004
Bài 21. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
A =
 1 0 32 1 1
3 2 2

Giải
Cách 1. Sử dụng phương pháp định thức
Ta có: detA = 2 + 12− 9− 2 = 3
A11 =
∣∣∣∣∣ 1 12 2
∣∣∣∣∣ = 0 A21 = −
∣∣∣∣∣ 0 32 2
∣∣∣∣∣ = 6 A31 =
∣∣∣∣∣ 0 31 1
∣∣∣∣∣ = −3
A12 = −
∣∣∣∣∣ 2 13 2
∣∣∣∣∣ = −1 A22 =
∣∣∣∣∣ 1 33 2
∣∣∣∣∣ = −7 A32 = −
∣∣∣∣∣ 1 32 1
∣∣∣∣∣ = 5
A13 =
∣∣∣∣∣ 2 13 2
∣∣∣∣∣ = 1 A23 = −
∣∣∣∣∣ 1 03 2
∣∣∣∣∣ = −2 A33 =
∣∣∣∣∣ 1 02 1
∣∣∣∣∣ = 1
Vậy
A−1 =
1
3
 0 6 −3−1 −7 5
1 −2 1

Cách 2. Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp
Xét ma trận
A =
 1 0 32 1 1
3 2 2
∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 d2→−2d1+d2−−−−−−−→
d3→−3d1+d3
 1 0 30 1 −5
0 2 −7
∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−2 1 0
−3 0 1

d3=−2d2+d3−−−−−−−→
 1 0 30 1 −5
0 0 3
∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−2 1 0
1 −2 1
 d3= 13d3−−−−→
 1 0 30 1 −5
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−2 1 0
1
3
−2
3
1
3

1
−→
 1 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣
0 2 −1
−1
3
−7
3
5
3
1
3
−2
3
1
3

Vậy
A−1 =
 0 2 −1−13 −73 53
1
3
−2
3
1
3

Bài 22. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
A =
 1 3 22 1 3
3 2 1

Giải
Ta sử dụng phương pháp định thức.
Ta có detA = 1 + 27 + 8− 6− 6− 6 = 18
A11 =
∣∣∣∣∣ 1 32 1
∣∣∣∣∣ = −5 A21 = −
∣∣∣∣∣ 3 22 1
∣∣∣∣∣ = 1 A31 =
∣∣∣∣∣ 3 21 3
∣∣∣∣∣ = 7
A12 = −
∣∣∣∣∣ 2 33 1
∣∣∣∣∣ = 7 A22 =
∣∣∣∣∣ 1 23 1
∣∣∣∣∣ = −5 A32 = −
∣∣∣∣∣ 1 22 3
∣∣∣∣∣ = 1
A13 =
∣∣∣∣∣ 2 13 2
∣∣∣∣∣ = 1 A23 = −
∣∣∣∣∣ 1 33 2
∣∣∣∣∣ = 7 A33 =
∣∣∣∣∣ 1 32 1
∣∣∣∣∣ = −5
Vậy
A−1 =
1
18
 −5 1 77 −5 1
1 7 −5

(Bạn đọc cũng có thể sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp để giải bài này)
Bài 23. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
A =

−1 1 1 1
1 −1 1 1
1 1 −1 1
1 1 1 −1

Giải
Ta sử dụng phương pháp 3.
2
Xét hệ 
−x1 + x2 + x3 + x4 = y1 (1)
x1 − x2 + x3 + x4 = y2 (2)
x1 + x2 − x3 + x4 = y3 (3)
x1 + x2 + x3 − x4 = y4 (4)
(1) + (2) + (3) + (4) =⇒ x1 + x2 + x3 + x4 = 1
2
(y1 + y2 + y3 + y4) (∗)
(∗)− (1) =⇒ x1 = 1
4
(−y1 + y2 + y3 + y4)
(∗)− (2) =⇒ x2 = 1
4
(y1 − y2 + y3 + y4)
(∗)− (3) =⇒ x3 = 1
4
(y1 + y2 − y3 + y4)
(∗)− (4) =⇒ x4 = 1
4
(y1 + y2 + y3 − y4)
Vậy
A−1 =
1
4

−1 1 1 1
1 −1 1 1
1 1 −1 1
1 1 1 −1

Bài 24. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
A =

0 1 1 1
−1 0 1 1
−1 −1 0 1
−1 −1 −1 0

Giải
Sử dụng phương pháp 3.
Xét hệ 
x2 + x3 + x4 = y1 (1)
−x1 + x3 + x4 = y2 (2)
−x1 − x2 + x4 = y3 (3)
−x1 − x2 − x3 = y4 (4)
(1) + (2)− (3) + (4) =⇒ −x1 + x2 + x3 + x4 = y1 + y2 − y3 + y4 (∗)
(1)− (∗) =⇒ x1 = −y2 + y3 − y4
(∗)− (2) =⇒ x2 = y1 − y3 + y4
(4) =⇒ x3 = −x1 − x2 − y4 = −y1 + y2 − y4
(3) =⇒ x4 = x1 + x2 + y3 = y1 − y2 + y3
3
Vậy
A−1 =

0 −1 1 −1
1 0 −1 1
−1 1 0 −1
1 −1 1 0

Bài 25. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
1 1 1 · · · 1
0 1 1 · · · 1
0 0 1 · · · 1
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · 1

n×n
Giải
Sử dụng phương pháp 3.
Xét hệ 
x1 + x2 + · · ·+ xn = y1 (1)
x2 + · · ·+ xn = y2 (2)
...
xn−1 + xn = yn−1 (n− 1)
xn = yn (n)
(1)− (2) =⇒ x1 = y1 − y2
(2)− (3) =⇒ x2 = y2 − y3
...
(n− 1)− (n) =⇒ xn−1 = yn−1 − yn
(n) =⇒ xn = yn
Vậy
A−1 =

1 −1 0 0 · · · 0 0
0 1 −1 0 · · · 0 0
...
...
...
...
. . . 0 0
0 0 0 0 · · · 1 −1
0 0 0 0 · · · 0 1

4
Bài 26. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
A =

1 + a 1 1 · · · 1
1 1 + a 1 · · · 1
1 1 1 + a · · · 1
...
...
...
. . .
...
1 1 1 · · · 1 + a

Giải
Sử dụng phương pháp 3.
Xét hệ 
(1 + a)x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn = y1 (1)
x1 + (1 + a)x2 + x3 + · · ·+ xn = y2 (2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x1 + x2 + x3 + · · ·+ (1 + a)xn = yn (n)
Lấy (1) + (2) + · · ·+ (n), ta có
(n+ a)(x1 + x2 + · · ·+ xn) = y1 + y2 + · · ·+ yn
1. Nếu a = −n, ta có thể chọn tham số y1, y2, . . . , yn thỏa y1 + · · ·+ yn 6= 0. Khi đó hệ vô
nghiệm và do đó ma trận A không khả nghịch.
2. Nếu a 6= −n, khi đó ta có
x1 + x2 + · · ·+ xn = 1
n+ a
(y1 + · · ·+ yn) (∗)
(1)− (∗) =⇒ ax1 = 1
n+ a
((n+ a− 1)y1 − y2 − · · · − yn)
(a) Nếu a = 0, ta có thể chọn tham số y1, y2, . . . , yn để phương trình trên vô nghiệm.
Do đó hệ vô nghiệm và ma trận A không khả nghịch.
(b) Nếu a 6= 0, ta có
x1 =
1
a(n+ a)
((n+ a− 1)y1 − y2 − · · · − yn)
(2)− (∗) =⇒ x2 = 1
a(n+ a)
(y1 − (n+ a− 1)y2 − y3 − · · · − yn)
...
(n)− (∗) =⇒ xn = 1
a(n+ a)
(y1 − y2 − y3 − · · · − (n+ a− 1)yn)
Vậy
A−1 =
1
a(n+ a)

n+ a− 1 −1 −1 · · · −1
−1 n+ a− 1 −1 · · · −1
−1 −1 n+ a− 1 · · · −1
...
...
...
. . .
...
−1 −1 −1 · · · n+ a− 1

n×n
5