Đại số và giải tích 11 nâng cao - Giới hạn của dãy số, hàm số - Chương IV

	§1. Dãy số có giới hạn 0:
Định nghĩa: thì ïun ê< e
Một số dãy có giới hạn 0:
	* Định lý 1: Hai dãy số (un) và (vn)
	Nếu êunï £ vn "n và limvn = 0 thì limun = 0.
	* Định lý 2: Nếu êqï < 1 thì limqn = 0.
	§2. Dãy số có giới hạn hữu hạn:
Định nghĩa: limun = L Û lim(un – L) = 0.
Định lý 1: Giả sử limun = L. Khi đó:
limêunï = êLï và 
Nếu un ³ 0 "n thì L ³ 0 và 
Định lý 2: Nếu limun = L, limvn = M và c là một hằng số. Khi đó:
lim(un + vn) = L + M;	lim(un - vn) = L - M;	lim(un.vn) = L.M;
	lim(cun) = cL;	 (nếu M ≠ 0).
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 
Bài tập áp dụng:
1. Dùng định nghĩa, chứng minh các dãy sau có giới hạn 0:
	 với a là số thực hữu hạn, k là số tự nhiên hữu hạn
2. Cho a > 1. Chứng minh rằng: 
3. Chứng minh rằng 
4. Ba dãy vn, un, wn thỏa vn £ un £ wn "n, limvn = L, limwn = L. CMR: limun = L
5. Biết rằng limun = limun-1 = limun-2 = limun-k với k là số hữu hạn. CMR: Dãy un tăng (giảm) và bị chặn trên (và bị chặn dưới) thì có giới hạn.
6. Chứng minh các dãy sau đây có giới hạn 0: 
7. Tìm các giới hạn limun với:
8. Chứng minh rằng 
9. Cho dãy xác định bởi: a) CMR: với mọi n thì 
 	b) Từ đó suy ra limun = 0.
10. Cho dãy xác định bởi: a) CMR: với mọi n thì 
 	b) Từ đó suy ra limun = 0.
11. Tìm giới hạn của các dãy sau:
12. Cho dãy xác định bởi: 	a) CMR: với mọi n thì 
 	 	b) Tìm limun.
13. Dãy xác dịnh bởi: Gọi (vn) là dãy xác định bởi vn = un + 18.
	a) CMR: vn là một cấp số nhân lùi vô hạn.
	b) Tính tổng của cấp số nhân (vn) và tìm limun.
14. CMR: dãy có giới hạn hữu hạn.
15. Đặt Tính các giới hạn sau: 
	§3. Dãy số có giới hạn vô cực:
 thì un > M.
 thì un < M.
limêunï= + ¥ thì 
Quy tắc 1
Quy tắc 2
Quy tắc 3
limun
limvn
lim(unvn)
limun
Dấu L
lim(unvn)
Dấu L
Dấu vn
+¥
+¥
+¥
+¥
+
+¥
+
+
+¥
+¥
-¥
-¥
+¥
-
-¥
+
-
-¥
-¥
+¥
-¥
-¥
+
-¥
-
+
-¥
-¥
-¥
+¥
-¥
-
+¥
-
-
+¥
Bài tập áp dụng:
1. CMR: a) Nếu q > 1 thì limqn = + ¥;	b) Nếu thì lim un = + ¥
2. Tìm các giới hạn: 
3. Cho một hình vuông cạnh a. Nối trung điểm của bốn cạnh ta được một hình vuông mới nhỏ hơn. Lại làm như vậy đối với hình vuông mới. Cứ tiếp tục như thế mãi. Tìm giới hạn của tổng các diện tích của tất cả các hình vuông tạo thành.
4. Tìm giới hạn sau: với êaï < 1 và êbï < 1.
5. Tìm các giới hạn: 
6. Tìm các giới hạn sau:
7. CMR: mỗi dãy số sau đây đều có giới hạn và tìm giới hạn đó:
§4. Giới hạn của hàm số:
Định nghĩa 1: Û " dãy (xn), limxn = x0 ta đều có limf(xn) = L. Trong đó x0 Î (a, b), f(x) xác định trên (a, b) \ {x0}, xn Î (a, b) và xn ≠ x0.
Định nghĩa 2: Û " dãy (xn), limxn = +¥ đều có limf(xn) = L. Trong đó f(x) xác định trên (a, +¥), xn Î (a, +¥) "n.
Định lý 1: Nếu và (L, M Î R) thì:
Định lý 2: Giả sử . Khi đó:
Nếu f(x) ³ 0 "x Î J thì L ³ 0 và 
Bài tập áp dụng:
1. Tìm các giới hạn sau: 
2. Tìm các giới hạn sau:
3. Tính 
4. Tìm các giới hạn sau:
5. Chứng minh rằng: 
6. Tìm các giới hạn sau:
§5. Giới hạn một bên:
Định nghĩa 1: Û " dãy (xn), xn Î (x0, b), limxn = x0 thì limf(xn) = L.
Định nghĩa 3: Û " dãy (xn), xn Î (a, x0,), limxn = x0 thì limf(xn) = L.
* Nhận xét: 
Giới hạn vô cực:
* Các định nghĩa được nêu tương tự.
	* Nhận xét trên vẫn đúng cho giới hạn vô cực.
Bài tập áp dụng:
1. Tìm các giới hạn sau:
2. Tìm các giới hạn sau:
3. Cho hàm số . Tìm các giới hạn sau (nếu có)
4. Cho thấu kính hội tụ có các tiêu điểm F, F’ với FF’ = 2f. Gọi d, d’ lần lượt là khoảng cách từ vật, từ ảnh tới thấu kính.
	a) Thiết lập hàm số j(d).
	b) Tìm và giải thích ý nghĩa.
5. Tìm các giới hạn sau:
6. Ta gọi phần nguyên của số thực x là một số nguyên không vượt quá x và ký hiệu là [x]. Hãy vẽ đồ thị hàm số y = [x] và tìm các giới hạn sau đây (nếu có).
§6. Vài quy tắc tìm giới hạn vô cực:
Định lý: 
Quy tắc 1
Quy tắc 2
Dấu của L
Dấu của L
Dấu của g(x)
+¥
+
+¥
+
+
+¥
+¥
-
-¥
+
-
-¥
-¥
+
-¥
-
+
-¥
-¥
-
+¥
-
-
+¥
Bài tập áp dụng:
1. Tìm các giới hạn sau: 
2. Tìm các giới hạn sau: 
3. Tìm các giới hạn sau: 
4. Tìm giới hạn:
5. Biết rằng . Tìm các giới hạn:
6. Tìm giới hạn 
7. Tìm các giới hạn sau:
8. Tìm các giới hạn sau:
§7. Các dạng vô định:
Trong chương trình, ta chỉ xét 4 dạng vô định là . Nguyên tắc chung để tìm giới hạn của 4 dạng này là phải khử dạng vô định.
Bài tập áp dụng:
1. Tìm các giới hạn sau:
2. Tìm các giới hạn sau:
3. Tìm các giới hạn sau:
4. Tìm các giới hạn sau:
5. Tìm các giới hạn sau:
§8. Hàm số liên tục:
1. Hàm số liên tục tại một điểm: Hàm số f(x) xác định trên (a; b) và x0 Î (a; b).
f(x) liên tục tại điểm x0 Û 
Hàm số không liên tục tại x0 được gọi lại gián đoạn tại điểm x0.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng:
Hàm số f(x) có xác định J. f(x) liên tục trên J Û f(x) liên tục tại "x0 Î J.
Hàm số f(x) xác định trên [a; b], f(x) liên tục trên [a; b] nếu f(x) liên tục trên (a; b) và 
Định lý 1: Các hàm số đa thức, phân thức, căn rhức và các hàm số lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục:
	Định lý 2: f(x) xác định trên [a; b]. Nếu f(a) ≠ f(b) thì "M nằm giữa f(a) và f(b), $c Î (a; b)ï f(c) = M.
	Hệ quả: f(x) liên tục trên [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì $c Î (a; b)ï f(c) = 0.
	Ý nghĩa hình học của hệ quả: f(x) liên tục trên [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại ít nhất một điểm có hoành độ c Î (a; b).
Bài tập áp dụng:
1. Xét sự liên tục của hàm số f(x) tại x = x0 đã cho và trên tập R.
2. Tìm a để f(x) liên tục tại x = 2. Vẽ đồ thị f(x)
 Tìm A, B để f(x) liên tục trên R.
3. Chứng minh rằng phương trình:
	a) x4 – 5x + 2 = 0 có nghiệm x0 Î (0; 1).
	b) x3 + 3x2 – 1 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.
	c) x3 + ax2 + bx + c = 0 với 4a + 8b + 21c + 2 = 0 luôn có N0 x0 Î [-1; 0,5].
Bài tập ôn tập chương IV:
1. Tìm các giới hạn sau:
2. Tìm các giới hạn sau:
3. Giải phương trình:
4. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
5. Chứng minh rằng phương trình:
a) sinx – x + 1 = 0;
b) m(x – 1)(x – 2) + (2x – 3)x3 = 0 luôn có nghiệm "m;
	c) atan2x + btanx + c = 0 có nghiệm trên khoảng 
d) ax3 + bx2 + cx + c = 0 với luôn có nghiệm x0 Î (0; 1);
	6. Chứng minh rằng phương trình x4 – x – 2 = 0 luôn có N0 x0 Î (1; 2) và .