Đề chọn đội tuyển chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi - vòng 2 môn Toán

Đề chọn đội tuyển chuyên Lê Khiết-Quảng Ngãi – 2010-vòng 2
Bài 1: Giải phương trình: 
Bài 2:
Cho tập gồm 20 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng có 2 tập là tập con chứa ít hơn 8 phần tử của thỏa mãn các điều kiện sau: 
không có phần tử chung.
không chứa 2 phần tử nào là hai số tự nhiên liên tiếp
Hiệu tổng nghịch đảo các phần tử của với nhỏ hơn .
Cho là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên thỏa mãn .
Bài 3: Tìm cực trị của hàm số: 
Bài 4: Giải phương trình hàm liên tục sau trên : 
Bài 5: Cho và điểm nằm trong tam giác.
Chứng minh rằng: 
với lần lượt là độ dài các cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Bài 6: Cho hình chữ nhật với kích thước và tứ giác với các đỉnh nằm trên các cạnh của hình chữ nhật.
Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác .
GỢI Ý HD GẢI:
BÀI 1:
Ta có phương trình ban đầu tương đương:
Đặt t=;
Khi đó ta có:
mà VT nhỏ hơn 0, VP lớn hơn 0 nên dấu bằng xảy ra khi 2 vế = 0(đến đây tự giải tiếp nhé!!)
Giải ra thì phương trình ban đầu vô nghiêm.
BÀI 2:
B) +) p =2 n là số chẵn.
+) p >2 Khi đó theo định lí nhỏ của Fecma
(mod p)
(mod p)
Lấy n=m(p-1) với m -1 (mod p)
n=m(p-1) 1 (mod p)
Khi đó (mod p)
Do đó vô số nguyên dương m sao cho m -1(mod p)
Tồn tại n thoả mãn.
BÀI 3:
BÀI 4:
Nếu tồn tại ,sao cho 
Nếu , thì từ giả thiết suy ra hoặc .
a) Nếu , đặt .
Vì
Đặt Do liên tục trên nên cũng liên tục trên 
b) Nếu , đặt .
Làm tương tự như trên ta tìm được
BÀI 6:
Không mất tính tổng quát, giả sử (Trong đó quy ước )
Lấy lần lượt là các điểm đối xứng với qua . Tiếp tục lấy là điểm đối xứng qua . Nối cắt lần lượt ở .Nối cắt ở . Rõ ràng với mọi nội tiếp hình chữ nhật thì:
Như vậy chu vi nhỏ nhất của chính bằng (Và bằng ), đạt được khi chúng trờ thành tứ giác