Đề cương bồi dưỡng HSG Toán 7

 CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7
 PHẦN ĐẠI SỐ
 Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính:
 1. Các kiến thức vận dụng:
 - Tính chất của phép cộng , phép nhân
 - Các phép toán về lũy thừa: 
 n m n m+n m n m –n
 a = a.a....a ; a .a = a ; a : a = a ( a 0, m n)
 n
 a an
 (am)n = am.n ; ( a.b)n = an .bn ; ( )n (b 0)
 b bn
 2 . Một số bài toán :
 Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 + . + n , 1+ 3 + 5 + . + (2n -1)
 b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..+ n.(n+1)
 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2)
 Với n là số tự nhiên khác không.
 HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1)
 1+ 3+ 5+ + (2n-1) = n2
 b) 1.2+2.3+3.4+ + n(n+1) 
 = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + ..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3
 = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 + + n(n+1)(n+2)] : 3
 = n(n+ 1)(n+2) :3
 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2)
 = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + + n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4
 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Tổng quát: 
Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 + ..+ an 
 c c c
 b) Tính tổng : A = ...... với a2 – a1 = a3 – a2 = = an – an-1 = 
 a1.a2 a2.a3 an 1.an
k
 HD: a) S = 1+ a + a2 + ..+ an aS = a + a2 + ..+ an + an+1 
 Ta có : aS – S = an+1 – 1 ( a – 1) S = an+1 – 1
 Nếu a = 1 S = n
 an 1 1
 Nếu a khác 1 , suy ra S = 
 a 1
 c c 1 1
 b) Áp dụng ( ) với b – a = k
 a.b k a b
 c 1 1 c 1 1 c 1 1
 Ta có : A = ( ) ( ) ..... ( )
 k a1 a2 k a2 a3 k an 1 an
 c 1 1 1 1 1 1
 = ( ...... )
 k a1 a2 a2 a3 an 1 an
 c 1 1
 = ( )
 k a1 an
Bài 3 : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + . + n2
 b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + ..+ n3
 HD : a) 12 + 22 + 32 + .+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6
 b) 13 + 23 + 33 + ..+ n3 = ( n(n+1):2)2
 1 Bài 3: Thực hiện phép tính:
 1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49
 a) A = ( ... )
 4.9 9.14 14.19 44.49 89
 212.35 46.92 510.73 255.492
 b) B 6 3
 22.3 84.35 125.7 59.143
HD : A = 9 ; B = 7 
 28 2
 1 1 1 2 2 2
Bài 4: 1, Tính: P = 2003 2004 2005 2002 2003 2004
 5 5 5 3 3 3
 2003 2004 2005 2002 2003 2004
 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. 
 Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
 3 3 
 0,375 0,3 
 1,5 1 0,75 1890
Bài 5: a) TÝnh A 11 12 : 115
 5 5 5 2005
 2,5 1,25 0,625 0,5 
 3 11 12 
 1 1 1 1 1 1
 b) Cho B ... 
 3 32 33 34 32004 32005
 1
 Chøng minh r»ng B .
 2
 1 5 5 1 3
 13 2 10 . 230 46
Bài 6: a) Tính : 4 27 6 25 4
 3 10 1 2 
 1 : 12 14 
 10 3 3 7 
 1 1 1 1
 ... 
 b) TÝnh P 2 3 4 2012
 2011 2010 2009 1
 ... 
 1 2 3 2011
 HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = .
 2012 2010 1
 MS 1 1 .... 1 2011
 1 2 2011
 2012 2012 1 1 1 1
 2012 .... 2011 = 2012( ...... )
 2 2011 2 3 4 2012
 1 1 1 1 
 (1 2 3 ... 99 100) (63.1,2 21.3,6)
 2 3 7 9
 c) A 
 1 2 3 4 ... 99 100
 Bài 7: a) Tính giá trị của biểu thức: 
 2 11 3 1 2 
 1 . 4 15 6 . 
 31 7 3 19 14 31
 A . 1 .
 5 1 1 93 50
 4 12 5 
 6 6 3 
 1 1 1 1 1
 b) Chứng tỏ rằng: B 1 ... 
 22 32 32 20042 2004
Bài 8: a) Tính giá trị của biểu thức:
 2
 4 3
 81,624 : 4 4,505 125
 3 4
 A 
 2
 2 
 11 2 13
 : 0,88 3,53 (2,75)  :
 25 25
  
 b) Chứng minh rằng tổng:
 1 1 1 1 1 1 1
 S ... .... 0,2
 22 24 26 24n 2 24n 22002 22004
 Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
 1. Kiến thức vận dụng :
 a c
 - a.d b.c 
 b d
 a c e a c e a b e
 -Nếu thì với gt các tỉ số dều có nghĩa
 b d f b d f b d f
 a c e
 - Có = k Thì a = bk, c = d k, e = fk
 b d f
 2. Bài tập vận dụng
 Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng 
 thức
 a c a2 c2 a
 Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: 
 c b b2 c2 b
 a c
 HD: Từ suy ra c2 a.b
 c b
 a2 c2 a2 a.b
 khi đó 
 b2 c2 b2 a.b
 a(a b) a
 = 
 b(a b) b
Bài 2: Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:
 a (a 2012b)2
 = 
 c (b 2012c)2
 HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac
 = a( a + 2.2012.b + 20122.c)
 (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2
 = c( a + 2.2012.b + 20122.c)
 2
Suy ra : a = (a 2012b)
 c (b 2012c)2
 3 a c 5a 3b 5c 3d
Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu th× 
 b d 5a 3b 5c 3d
 a c
 HD : Đặt k a = kb, c = kd . 
 b d
 5a 3b b(5k 3) 5k 3 5c 3d d(5k 3) 5k 3
 Suy ra : và 
 5a 3b b(5k 3) 5k 3 5c 3d d(5k 3) 5k 3
 5a 3b 5c 3d
 Vậy 
 5a 3b 5c 3d
 a2 b2 ab
Bài 4: BiÕt với a,b,c, d 0 Chứng minh rằng :
 c2 d 2 cd
 a c a d
 hoặc 
 b d b c
 a2 b2 ab 2ab a2 2ab b2 (a b)2 a b
 HD : Ta có = ( )2 (1)
 c2 d 2 cd 2cd c2 2cd d 2 (c d)2 c d
 a2 b2 ab 2ab a2 2ab b2 (a b)2 a b
 = ( )2 (2)
 c2 d 2 cd 2cd c2 2cd d 2 (c d)2 c d
 a b a b
 a b 2 a b 2 c d c d
 Từ (1) và (2) suy ra : ( ) ( ) 
 c d c d a b b a
 c d d c
Xét 2 TH đi đến đpcm
 a c
Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: 
 b d
 2
 ab a2 b2 a b a2 b2
 vµ 
 cd c2 d 2 c d c2 d 2
 a c
HD : Xuất phát từ biến đổi theo các 
 b d
 ab a2 b2 a2 c2 a2 b2 a b
hướng làm xuất hiện ( )2
 cd c2 d 2 b2 d 2 c2 d 2 c d
Bài 6 : Cho dãy tỉ số bằng nhau:
 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
 a b c d
 a b b c c d d a
 Tính M 
 c d d a a b b c
 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
HD : Từ 
 a b c d
 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
 Suy ra : 1 1 1 1
 a b c d
 a b c d a b c d a b c d a b c d
 a b c d
Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) 
 a b b c c d d a
 M = -4
 c d d a a b b c
 4 a b b c c d d a
Nếu a + b + c + d 0 a = b = c = d M = 4
 c d d a a b b c
Bài 7 : a) Chứng minh rằng: 
 x y z
 Nếu 
 a 2b c 2a b c 4a 4b c
 a b c
 Thì 
 x 2y z 2x y z 4x 4y z
 3
 a b c a b c a
 b) Cho: . Chứng minh: 
 b c d b c d d
 x y z a 2b c 2a b c 4a 4b c
HD : a) Từ 
 a 2b c 2a b c 4a 4b c x y z
 a 2b c 2(2a b c) 4a 4b c a
 (1)
 x 2y z x 2y z
 2(a 2b c) (2a b c) 4a 4b c b
 (2)
 2x y z 2x y z
 4(a 2b c) 4(2a b c) 4a 4b c c
 (3)
 4x 4y z 4x 4y z
 a b c
Từ (1) ;(2) và (3) suy ra : 
 x 2y z 2x y z 4x 4y z
 x y z t
Bài 8: Cho 
 y z t z t x t x y x y z
chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.
 x y y z z t t x
 P 
 z t t x x y y z
 x y z t y z t z t x t x y x y z
HD Từ 
 y z t z t x t x y x y z x y z t
 y z t z t x t x y x y z
 1 1 1 1
 x y z t
 x y z t z t x y t x y z x y z t
 x y z t
 Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4
 Nếu x + y + z + t 0 thì x = y = z = t P = 4
 y z x z x y x y z
Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : 
 x y z
 x y z 
 Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 1 1 
 y z x 
Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính
 T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011
 x2010 y2010 z2010 t2010 x2010 y2010 z2010 t2010
 Biết x,y,z,t thỏa mãn: 
 a2 b2 c2 d 2 a2 b2 c2 d 2
 b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:
 M = a + b = c +d = e + f
 5 a 14 c 11 e 13
 Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và ; ; 
 b 22 d 13 f 17
 a b c
 c) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn : .
 2009 2010 2011
 Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 
 Một số bài tương tự
 Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
 2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d
 a b c d
 a b b c c d d a
 TÝnh M 
 c d d a a b b c
Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện : 
 y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt
 ( n là số tự nhiên)
 x y z t
 và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t
 Dạng 2 : Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x,y,z, 
 1+3y 1+5y 1+7y
Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : 
 12 5x 4x
 HD : Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y
 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12
 2y 2y
=> với y = 0 thay vào không thỏa mãn
 x 5x 12
 Nếu y khác 0
 => -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được:
 1 3y 2y 1
 y =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = 
 12 2 15
Vậy x = 2, y = 1 thoả mãn đề bài
 15
 a b c
Bài 3 : Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2012.
 b c a
 Tính b, c.
 a b c a b c
 HD : từ 1 a = b = c = 2012
 b c a a b c
 y x 1 x z 2 x y 3 1
Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết : 
 x y z x y z
HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:
 y x 1 x z 2 x y 3 2(x y z) 1
 2 (vì x+y+z 0)
 x y z (x y z) x y z
 6 Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đó tìm được x, y, z
 1 2y 1 4y 1 6y
Bài 5 : Tìm x, biết rằng: 
 18 24 6x
 1 2y 1 4y 1 6y 2(1 2y) (1 4y) 1 2y 1 4y (1 6y)
 HD : Từ 
 18 24 6x 2.18 24 18 24 6x
 1 1
 Suy ra : x 1
 6 6x
 x y z
Bài 6: T×m x, y, z biÕt: x y z (x, y, z 0 )
 z y 1 x z 1 x y 2
 x y z x y z 1
 HD : Từ x y z 
 z y 1 x z 1 x y 2 2(x y z) 2
 1 1 1 1
 Từ x + y + z = x + y = - z , y +z = - x , z + x = - y thay vào đẳng thức 
 2 2 2 2
ban đầu để tìm x.
 3x 3y 3z
Bài 7 : T×m x, y, z biÕt vµ 2x2 2y2 z 2 1
 8 64 216
 2x 1 4y 5 2x 4y 4
Bài 8 : Tìm x , y biết : 
 5 9 7x
 Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y 
 1. Kiến thức vận dụng :
 - Tính chất phép toán cộng, nhân số thực
 - Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế
 A, A 0
 - Tính chất về giá trị tuyệt đối : A 0 với mọi A ; A 
 A, A 0
 - Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối : 
 A B A B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; A B A B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0
 A m A m
 A m (m 0) ; A m (hay m A m) với m > 0
 A m A m
 - Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n 0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi 
 A
Am = An m = n; An = Bn A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = B ( nếu n chẵn)
 0< A < B An < Bn ; 
 2. Bài tập vận dụng
 Dạng 1: Các bài toán cơ bản
 Bài 1: Tìm x biết
 7 a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013
 x 1 x 2 x 3 x 4
 b) 
 2011 2010 2009 2008
 HD : a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013
 x( 1 + 2 + 3 + .+ 2011) = 2012.2013
 2011.2012 2.2013
 x. 2012.2013 x 
 2 2011
 b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
 x 1 x 2 x 3 x 4
 Từ 
 2011 2010 2009 2008
 (x 2012) 2011 (x 2012) 2010 (x 2012) 2009 (x 2012) 2008
 2011 2010 2009 2008
 x 2012 x 2012 x 2012 x 2012
 2
 2011 2010 2009 2008
 1 1 1 1
 (x 2012)( ) 2
 2011 2010 2009 2008
 1 1 1 1
 x 2 : ( ) 2012
 2011 2010 2009 2008
 Bài 2 Tìm x nguyên biết
 1 1 1 1 49
 a) .... 
 1.3 3.5 5.7 (2x 1)(2x 1) 99
 1006
 b) 1- 3 + 32 – 33 + .+ (-3)x = 9 1
 4
 Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối 
 • Dạng : x a x b và x a x b x c
 Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị 
đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)
 Bài 1 : Tìm x biết :
 a) x 2011 x 2012 b) x 2010 x 2011 2012
 HD : a) x 2011 x 2012 (1) do VT = x 2011 0,x 
 nên VP = x – 2012 0 x 2012 (*)
 x 2011 x 2012 2011 2012(vôly)
 Từ (1) 
 x 2011 2012 x x (2011 2012) : 2
 Kết hợp (*) x = 4023:2
 b) x 2010 x 2011 2012 (1)
 8 Nếu x 2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy)
 Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại) 
 Nếu x 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012 x = 6033:2(lấy)
 Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2
 Một số bài tương tự:
 Bài 2 : a) T×m x biÕt x 1 x 3 4
 b) T×m x biÕt: x2 6x 2 x2 4 
 c) T×m x biÕt: 2x 3 2 4 x 5
 Bài 3 : a)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: x 3 x 1 3x
 b) Tìm x biết: 2x 3 x 2 x
Bài 4 : tìm x biết :
 a) x 1 4 b) x 2011 2012
 Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối
 Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết : x 1 x 3 x 5 x 7 8
 b) Tìm x biết : x 2010 x 2012 x 2014 2
HD : a) ta có x 1 x 3 x 5 x 7 x 1 7 x x 3 5 x 8 (1) 
 Mà x 1 x 3 x 5 x 7 8 suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=” 
 1 x 7
Hay 3 x 5 do x nguyên nên x {3;4;5}
 3 x 5
 b) ta có x 2010 x 2012 x 2014 x 2010 2014 x x 2012 2 (*)
 Mà x 2010 x 2012 x 2014 2 nên (*) xẩy ra dấu “=” 
 x 2012 0
Suy ra: x 2012
 2010 x 2014
 Các bài tương tự
 Bài 2 : Tìm x nguyên biết : x 1 x 2 ..... x 100 2500
 Bài 3 : Tìm x biết x 1 x 2 ..... x 100 605x
 Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n: x 1 x 2 y 3 x 4 = 3
 Bài 5 : Tìm x, y biết : x 2006y x 2012 0
 HD : ta có x 2006y 0 với mọi x,y và x 2012 0 với mọi x
 Suy ra : x 2006y x 2012 0 với mọi x,y mà x 2006y x 2012 0
 x y 0
 x 2006y x 2012 0 x 2012, y 2
 x 2012 0
Bài 6 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n.
 2004 x 4 x 10 x 101 x 990 x 1000
 Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :
 a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162
 HD : a) 5x + 5x+2 = 650 5x ( 1+ 52) = 650 5x = 25 x = 2
 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1(1 + 5) = 162 3x – 1 = 27 x = 4
 9 Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết:
 a) 2x + 1 . 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y
 22x 3y
 HD : a) 2x + 1 . 3y = 12x 2x 1 3y x 
 2x 1 3x
 Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 x – 1 = y-x = 0 x = y = 1
 b) 10x : 5y = 20y 10x = 102y x = 2y
Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : 
 a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256
HD: a) 2m + 2n = 2m +n 2m + n – 2m – 2n = 0 2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1
 n
 m n 2 1 1
 (2 -1)(2 – 1) = 1 m n 1
 m
 2 1 1
 b) 2m – 2n = 256 2n ( 2m – n - 1) = 28 
Dễ thấy m n, ta xét 2 trường hợp :
 + Nếu m – n = 1 n = 8 , m = 9
 + Nếu m – n 2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, 
mà VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9
 x 1 x 11
Bài 4 : Tìm x , biết : x 7 x 7 0
 HD :
 x 7 x 1 x 7 x 11 0
 x 1 10
 x 7 1 x 7 0
 x 7 x 1 1 x 7 10 0
 x 1
 x 7 0 
 x 7 0 x 7
 10 x 8
 1 (x 7)10 0 (x 7) 1 
 x 6
Bài 5 : Tìm x, y biết : x 2011y (y 1)2012 0
 HD : ta có x 2011y 0 với mọi x,y và (y – 1)2012 0 với mọi y 
 Suy ra : x 2011y (y 1)2012 0 với mọi x,y . Mà x 2011y (y 1)2012 0
 x 2011y 0
 x 2011, y 1
 y 1 0
 Các bài tập tương tự :
Bài 6 : Tìm x, y biết : 
 a) x 5 (3y 4)2012 0 b) (2x 1)2 2y x 8 12 5.22
 10 Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức.
 1 . Các kiến thức vận dụng:
 - Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
 - Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương
 - Tính chất chia hết của một tổng , một tích 
 - ƯCLN, BCNN của các số 
 2. Bài tập vận dụng :
 * Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức 
Bài 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7(x 2004)2 23 y2
 c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
 d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1
HD: a) Từ 51x + 26y = 2000 17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) do 3,17 là số NT nên x 2 
mà x NT x = 2. Lại có 1000 – 13y 51 , 1000 – 13y > 0 và y NT y = 
 b) Từ 7(x 2004)2 23 y2 (1)
 do 7(x–2004)2 0 23 y2 0 y2 23 y {0,2,3,4}
Mặt khác 7 là số NT 13 y2 7 vậy y = 3 hoặc y = 4 thay vào (1)
 suy ra : x= 2005 ,y =4 hoặc x = 2003, y = 4
 x 1 1 x 1 1
 c) Ta có xy + 3x - y = 6 ( x – 1)( y + 3) = 3 hoặc 
 y 3 3 y 3 3
 x 1 3 x 1 3
hoặc hoặc 
 y 3 1 y 1 1
 d)x 2-2y2=1 x2 1 2y2 (x 1)(x 1) 2y2
 x 1 2y x 3
 do VP = 2y2 chia hết cho 2 suy ra x > 2 , mặt khác y nguyên tố 
 x 1 y y 2
Bài 2 a) Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 7 
 b) Tìm x, y ¥ biết: 25 y2 8(x 2012)2 
HD : a) Từ x – y + 2xy = 7 2x – 2y + 2xy = 7 (2x - 1)( 2y + 1) = 13
 b) Từ 25 y2 8(x 2012)2 y2 25 và 25 – y2 chia hết cho 8 , suy ra y = 1 
hoặc y = 3 hoặc y = 5 , từ đó tìm x 
 1 1 1
Bài 3 a) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: 
 x y 5
 b) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn :
 a3 3a2 5 5b và a 3 5 c
 1 1 1 x5
HD : a) Từ 5 ( x + y) = xy (*) xy5 
 x y 5 y5
 + Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra:
 5q + y = qy 5q = ( q – 1 ) y . Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác 1 ta 
 5q 5
có y 5 Z q 1 Ư(5) , từ đó tìm được y, x
 q 1 q 1
 b) a3 3a2 5 5b a2 ( a +3) = 5b – 5 , mà a 3 5c a2. 5c = 5( 5b – 1 – 1)
 11 5b 1 1
 a2 Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( vì nếu c >1 thì 5 b – 1 - 1 không 
 5c 1
chia hết cho 5 do đó a không là số nguyên.) . Với c = 1 a = 2 và b = 2
Bài 4: T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n:
 2
 52 p 2013 52 p q2
 2 2
 HD : 52 p 2013 52 p q2 2013 q2 25 p 25 p 2013 q2 25 p (25 p 1)
 Do p nguyên tố nên 2013 q2 252 và 2013 – q2 > 0 từ đó tìm được q
Bài 5 : T ìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2n 1 chia hết cho 7
 HD : Với n < 3 thì 2n không chia hết cho 7
 Với n 3 khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 ( k N * )
 Xét n = 3k , khi đó 2n -1 = 23k – 1 = 8k – 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A 7
 Xét n = 3k +1 khi đó 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 không 
chia hết cho 7
 Xét n = 3k+2 khi đó 2 n – 1 = 23k +2 -1 = 4.83k – 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3 
không chia hết cho 7 . Vậy n = 3k với k N *
 * Tìm x , y để biểu thức có giá trị nguyên, hay chia hết:
Bài 1 T×m sè nguyªn m ®Ó:
 a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1.
 b) 3m 1 3
HD : a) Cách 1 : Nếu m >1 thì m -1 < 2m +1 , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1 
 Nếu m < -2 thì m 1 2m 1 , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1
 Vậy m { -2; -1; 0; 1}
 Cách 2 : Để m 12m 1 2(m 1)2m 1 (2m 1) 32m 1 32m 1
 2 4 m 0
 b) 3m 1 3 - 3 < 3m – 1 < 3 m vì m nguyên
 3 3 m 1
Bài 2 a) T×m x nguyªn ®Ó 6 x 1 chia hÕt cho 2 x 3
 b) T×m x Z ®Ó A Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã.
 1 2x 1 2x 1 2(x 3) 6 7
 A = . HD: A = = 2
 x 3 x 3 x 3 x 3
 2012 x 5
Bài 3: Tìm x nguyên để 
 1006 x 1
 2012 x 5 2(1006 x 1) 2009 2009
 HD : = 2 
 1006 x 1 1006 x 1 1006 x 1
 2012 x 5
 để 20091006 x 1 x là số CP. 
 1006 x 1
 Với x >1 và x là số CP thì 1006 x 1 2012 2009 suy ra 2009 không chia 
hết cho 1006 x 1
 Với x = 1 thay vào không thỏa mãn 
 Với x = 0 thì 2009 :1006 x 1 2009
 12 Chuyên đề 5 : Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 1.Các kiến thức vận dụng :
 * a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b
 * a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b
 *A2n 0 với mọi A, - A2n 0 với mọi A
 * A 0,A , A 0,A
 * A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0
 * A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0
 2. Bài tập vận dụng:
 * Dạng vận dụng đẳng thức : a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b
 Và a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
 a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012
 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000
HD : a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x. + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010
 Do ( x - 1)2 0 với mọi x , nên P(x) 2010 . Vậy Min P(x) = 2010 
khi ( x - 1)2 = 0 hay x = 1
 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500 - 3500 với mọi x 
 Vậy Min Q(x) = -3500
 Từ đây ta có bài toán tổng quát : Tìm GTNN của đa thức P(x) = a x2 + bx +c ( a > 0)
 b b b2
HD: P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x. + ( )2 ) + ( c - ) 
 2a 2a 4a
 b 4ac b2 4ac b2 4ac b2 b
 = a( x )2 ( ) ,x Vậy Min P(x) = khi x = 
 2a 4a 4a 4a 2a
Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
 a) A = - a2 + 3a + 4
 b) B = 2 x – x2 
 3 3 9 3 25
HD : a) A = - a2 + 3a + 4 = (a2 2.a. ( )2 ) (4 ) (a )2 
 2 2 4 2 4
 3 25 25 3
 Do (a ) 0,a nên A ,a . Vậy Max A = khi a = 
 2 4 4 2
 c) B = 2x x2 (x2 2.x.1 12 ) 1 (x 1)2 1 . Do (x 1) 0,x B 1,x
 Vậy Max B = 1 khi x = 1
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
 2012
 a) P = 2012 b) Q = a 2013
 x2 4x 2013 a2012 2011
 * Dạng vận dụng A2n 0 với mọi A, - A2n 0 với mọi A
Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức :
 a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012 
 b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012
HD : a) do (x 2y)2 0,x, y và (y 2012)2012 0,y suy ra : P 0 với mọi x,y
 x 2y 0 x 4024
 Min P = 0 khi 
 y 2012 0 y 2012
 b) Ta có (x y 3)4 0.x, y và (x 2y)2 0.x, y suy ra : Q 2012 với mọi x,y
 13 (x y 3)2 0 x 2
 Min Q = 2012 khi 
 2 
 (x 2y) 0 y 1
 2013
Bài 3 : Tìm GTLN của R = 4
 (x 2)2 (x y) 3
 3 x 2
Bài 4 : Cho phân số: C (x Z)
 4 x 5
 a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
 b) Tìm x Z để C là số tự nhiên.
 3 x 2 3 4.(3 x 2) 3 12 x 8 3 23
HD : C . . .(1 )
 4 x 5 4 3.(4 x 5) 4 12 x 15 4 12 x 15
 23
 C lớn nhất khi lớn nhất 12 x 15 nhỏ nhất và 12 x 15 0 x 2
 12 x 15
 3 23 8
Vậy Max C = (1 ) khi x = 2
 4 9 3
 7n 8
Bài 5 : T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt
 2n 3
 7n 8 7 2(7n 8) 7 14n 16 7 5
HD : Ta có . . (1 )
 2n 3 2 7(2n 3) 2 14n 21 2 14n 21
 7n 8 5
 Để lớn nhất thì lớn nhất 14n 21 0 và 14n – 21 có giá trị nhỏ 
 2n 3 14n 21
 21 3
nhất n và n nhỏ nhất n = 2 
 14 2
 * Dạng vận dụng A 0,A , A 0,A
 A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0
 A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 a) A = ( x – 2)2 + y x + 3
 b) B = 2011
 2012 x 2010
HD: a) ta có (x 2)2 0 với mọi x và y x 0 với mọi x,y A 3 với mọi x,y
 2
 (x 2) 0 x 2
 Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi 
 y x 0 y 2
 b) Ta có x 2010 0 với mọi x 2012 x 2010 2012 với mọi x 
 2011 2011
 B B với mọi x, suy ra Min B = khi x = 2010
 2012 2012
Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức 
 a) A x 2011 x 2012
 b) B x 2010 x 2011 x 2012
 c) C = x 1 x 2 ..... x 100
HD : a) Ta có A x 2011 x 2012 = x 2011 2012 x x 2011 2012 x 1 
với mọi x A 1 với x . Vậy Min A = 1 Khi (x 2011)(2012 x) 0 2011 x 2012
 14 b) ta có B x 2010 x 2011 x 2012 ( x 2010 2012 x ) x 2011
 Do x 2010 2012 x x 2010 2012 x 2 với mọi x (1)
 Và x 2011 0 với mọi x (2)
 Suy ra B ( x 2010 2012 x ) x 2011 2 . Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và 
 (x 2010)(2012 x) 0
(2) xẩy ra dấu “=” hay x 2011
 x 2011 0
 c) Ta có
 x 1 x 2 ..... x 100 = 
 ( x 1 100 x ) ( x 2 99 x ) ..... ( x 50 56 x )
 x 1 100 x x 2 99 x .... x 50 56 x = 99 + 97 + ....+ 1 = 2500
 Suy ra C 2050 với mọi x . Vậy Min C = 2500 khi 
 (x 1)(100 x) 0 1 x 100
 (x 2)(99 x) 0 2 x 99
 50 x 56
 ............................ ................
 (x 50)(56 x) 0 50 x 56
 Chuyên đề 6 : Dạng toán chứng minh chia hết 
 1.Kiến thức vận dụng 
 * Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
 * Chữ số tận cùng của 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n 
 * Tính chất chia hết của một tổng
 2. Bài tập vận dụng:
 Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 
 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10
 HD: ta có 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n
 =3n (32 1) 2n (22 1)
 =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10
 = 10( 3n -2n)
Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n  10 với mọi n là số nguyên dương.
Bài 2 : Chứng tỏ rằng:
 A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
HD: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : 3 + 25
 = 25( 42005 – 1 + 1) = 25. 42005 chia hết cho 100
 p m n
Bài 3 : Cho m, n N* và p là số nguyên tố thoả mãn: = (1)
 m 1 p
 Chứng minh rằng : p2 = n + 2 
 HD : + Nếu m + n chia hết cho p p(m 1) do p là số nguyên tố và m, n N* 
 m = 2 hoặc m = p +1 khi đó từ (1) ta có p2 = n + 2
 15 + Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1) (m + n)(m – 1) = p2
Do p là số nguyên tố và m, n N* m – 1 = p2 và m + n =1 
 m = p2 +1 và n = - p2 < 0 (loại) 
 Vậy p2 = n + 2
Bài 4: a) Sè A 101998 4 cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ?
 b) Chøng minh r»ng: A 3638 4133 chia hÕt cho 7 
HD: a) Ta có 101998 = ( 9 + 1)1998 = 9.k + 1 ( k là số tự nhiên khác không)
 4 = 3.1 + 1 
 Suy ra : A 101998 4 = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho 3 , không 
chia hết cho 9
 b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + 1 ( k N*)
 4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – 1 ( q N*) 
 Suy ra : A 3638 4133 = 7k + 1 + 7q – 1 = 7( k + q) 7
 Bài 5 : 
 a) Chứng minh rằng: 3n 2 2n 4 3n 2n chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương 
 b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 nếu a - 11b + 3c  17 (a, b, c Z)
Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 3a 2b 17 10a b 17 (a, b Z )
 b) Cho đa thức f (x) ax2 bx c (a, b, c nguyên). 
 CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3
 HD a) ta có 17a – 34 b 17 và 3a + 2b 17 17a 34b 3a 2b17 2(10a 16b)17
 10a 16b17 vì (2, 7) = 1 10a 17b 16b17 10a b17
 b) Ta có f(0) = c do f(0) 3 c3
 f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , do f(1) và f(-1) chia hết 
 cho 3 2b3 b3 vì ( 2, 3) = 1
 f(1) 3 a b c3 do b và c chia hết cho 3 a3
 Vậy a, b, c đều chia hết cho 3
 102006 53
 Bài 7 : a) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiên 
 9
 b) Cho 2n 1 lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh 2n 1 lµ hîp sè
 HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) .Do 4n- 1 chia hêt cho 3 và 2n 1 lµ 
 sè nguyªn tè (n > 2) suy ra 2n -1 chia hết cho 3 hay 2n -1 là hợp số 
 Chuyên đề 7 : Bất đẳng thức
 1.Kiến thức vận dụng
 16 * Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 < a2 < a3 < . < an thì n a1 < a1 + a2 + + an < nan
 1 1 1 1 1
 ..... 
 nan a1 a2 an na1
 1 1 1
 * a(a – 1) < a2 < a( a+1) 
 a(a 1) a2 a(a 1)
 * a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 , * a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b
 2.Bài tập vận dụng
 a b c
 Bài 1: Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng: M không là số nguyên.
 a b b c c a
 a b c a b c a b c
 HD : Ta có M 1 
 a b b c c a a b c c a b a b c a b c
 M 1
 a b c (a b) b (b c) c (c a) a
Mặt khác M 
 a b b c c a a b b c c a
 b c a
 3 ( ) = 3 – N Do N >1 nên M < 2
 a b b c c a
 Vậy 1 < M < 2 nên M không là số nguyên
Bài 2 Chứng minh rằng : a b 2 ab (1) , a b c 33 abc (2) với a, b, c 0
 HD : 
 a b 2 ab (a b)2 4ab a2 2ab b2 4ab a2 2ab b2 0 (a b)2 0 (*)
 Do (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng
Bài 3 : Với a, b, c là các số dương . Chứng minh rằng
 1 1 1 1 1
 a) (a b)( ) 4 (1) b) (a b c)( ) 9 (2)
 a b a b c
 1 1
HD : a) Cách 1 : Từ (a b)( ) 4 (a b)2 4ab (a b)2 0 (*) 
 a b
 Do (*) đúng suy ra (1) đúng 
 1 1 2 1 1 2
 Cách 2: Ta có a b 2 ab và (a b)( ) 2 ab. 4
 a b ab a b ab
 Dấu “ =” xẩy ra khi a = b
 1 1 1 b c a c a b a b b c a c
 b) Ta có : (a b c)( ) 3 3 ( ) ( ) ( ) 
 a b c a b c b a c b c a
 17 a b b c a c
 Lại có 2; 2; 2
 b a c b c a
 1 1 1
 Suy ra (a b c)( ) 3 2 2 2 9 Dấu “ = ” xẩy ra khi a = b = c
 a b c
Bài 4 : a) Cho z, y, z là các số dương.
 x y z 3
 Chứng minh rằng: 
 2x y z 2y z x 2z x y 4
 b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab bc ca 0 .
HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm được ab bc ca 0 
 Chuyên đề 8 : Các bài toán về đa thức một ẩn
 Bài 1 : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0)
 Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = 1 , P( 2) = 120 . Tính P(3) 
 HD : ta có P(1) = 100 a + b + c + d = 100 
 P(-1) = 50 - a + b – c + d = 50 
 P( 0) = 1 d = 1
 P(2) = 8a + 4b + c + d = 120
 Từ đó tìm được c, d, và a và XĐ được P(x) 
Bài 2 : Cho f (x) ax2 bx c với a, b, c là các số hữu tỉ.
 Chứng tỏ rằng: f ( 2). f (3) 0 . Biết rằng 13a b 2c 0
HD : f( -2) = 4a – 2b + c và f(3) = 9a + 3b + c f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + 
c)
 Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = 0
 ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c) 
 Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2 0
Bài 3 Cho đa thức f (x) ax2 bx c với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); 
f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c
 Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên c , a + b + c và 4a + 2b + c nguên 
 a + b và 4a + 2b = 2 (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên 2a , 2b nguyên 
Bài 4 Chứng minh rằng: f(x) ax3 bx2 cx d có giá trị nguyên với mọi x nguyên 
khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên
 HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d 
 Nếu f(x) có giá trị nguyên với mọi x d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d là các số 
nguyên . Do d nguyên a + b + c nguyên và (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b 
nguyên 2b nguyên 6a nguyên . Chiều ngược lại cm tương tự.
Bài 5 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu 
thức: A(x) = (3 4x x2 )2004. (3 4x x2 )2005
 2 4018
 HD : Giả sử A( x) = ao + a1x + a2x + ..+ a4018x
 Khi đó A(1) = ao + a1 +a2 + .+ a4018 
 do A(1) = 0 nên ao + a1 +a2 + .+ a4018 = 0
 Bài 6 : Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức:
 x2011 2012x2010 2012x2009 2012x2008 .... 2012x2 2012x 1
 18 HD : Đặt A = x2011 2012x2010 2012x2009 2012x2008 .... 2012x2 2012x 1
 x2010 (x 2011) x2009 (x 2011) x2008 (x 2011) .... x(x 2011) x 1
 tại x = 2012 thì A = 2011
 Chuyên đề 9 Các bài toán thực tế
 1. Kiến thức vận dụng
 - Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận : 
 Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi :
 y y y y
 y = k.x 1 2 3 ..... n k ( k là hệ số tỉ lệ )
 x1 x2 x3 xn
 - Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch :
 Đại lượng y và đại lượng x được gọi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khi :
 x.y = a x1.y1 x2.y2 x3.y3 ...... xn .yn a ( a là hệ số tỉ lệ )
 - Tính chất dãy tỉ số bằng nhau. 
 2. Bài tập vận dụng
 *Phương pháp giải :
 - Đọc kỹ đề bài , từ đó xác định các đại lượng trong bài toán
 - Chỉ ra các đại lượng đã biết , đại lượng cần tìm
 - Chỉ rõ mối quan hệ giữa các đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch)
 - Áp dụng tính chất về đại lượng tỉ lệ và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải
 Bài 1 : Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật 
chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với 
vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động 
trên bốn cạnh là 59 giây
 Bài 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A 
trồng được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng 
được 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được 
đều như nhau.
 Bài 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa 
 quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. 
 Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
 Bài 4 : Trên quãng đường AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. 
 Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi 
 là 3: 4. 
 Tính quãng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ?
 Bài 5 : Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn 
thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ 
là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu 
công nhân ?
 Bài 6 : Ba ô tô cùng khởi hành đi từ A về phía B . Vận tốc ô tô thứ nhất kém ô tô 
thứ hai là 3 Km/h . Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai và thứ ba đi hết quãng đường 
AB lần lượt là : 40 phút, 5 giờ , 5 giờ . Tính vận tốc mỗi ô tô ?
 8 9
 PHẦN HÌNH HỌC
 I. Một số phương pháp chứng minh hình hoc
 19 1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
 P2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đó
 - Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của một tam giác cân
 - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn 
thẳng
 - Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng
 2.Chứng minh hai góc bằng nhau:
 P2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai góc đó
 - Chứng minh hai góc đó là hai góc ở đáy của một tam giác cân
 - Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc đó là cặp góc so le 
 trong ,đồng vị 
 - Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác 
 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
 P2 : - Dựa vào số đo của góc bẹt ( Hai tia đối nhau)
 - Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm
 - Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3
 - Dựa vào tính chất 3 đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao
 4. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 
 P2 : - Tính chất của tam giác vuông, định lí Py – ta – go đảo
 - Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc 
 - Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao
 5 . Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm ) 
 P2 : - Dựa vào tính chất của các đường trong tam giác 
 6. So sánh hai đoạn thẳng, hai góc :
 P2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào một tam giác từ đó vận định lí về quan 
hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác , BĐT tam giác
 - Dựa vào định lí về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, đường xiên 
 và đường vuông góc . 
 II. Bài tập vận dụng
 Bài 1 : Cho tam giác ABC có Â < 90 0. 
Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng D
AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và E
bằng AC. Chứng minh: DC = BE và DC  BE 1
 HD: Phân tích tìm hướng giải A 
*Để CM DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ ADC ( 
c.g.c) 1
 Có : AB = AD, AC = AE (gt) I
 2
 Cần CM : D· AC B· AE K
 0 1
 Có : B· AE 90 B· AC D· AC
* Gọi I là giao điểm của AB và CD B
 µ µ 0
Để CM : DC  BE cần CM I2 B1 90 
 µ µ µ ¶ 0
 Có I1 I2 ( Hai góc đối đỉnh) và I1 D1 90 C
 µ ¶
 Cần CM B1 D1 ( vì ∆ABE = ∆ ADC)
 Lời giải
 20