Đề cương ôn tập học kì 1 Toán Lớp 8

 Đề cương ụn tập mụn Toỏn lớp 8
 Chủ đề 1: Nhõn đa thức.
A. Mục tiờu:
- Nắm được quy tắc nhõn đơn thức với đa thức, nhõn đa thức với đa thức.
- Học sinh biết trỡnh bày phộp nhõn đa thức theo cỏc cỏch khỏc nhau.
B. Thời lượng: 3 tiết (từ 1 đến 3)
C. Thực hiện: 
Tiết 1:
Cõu hỏi 
1: Phỏt biểu quy tắc nhõn đơn thức với đa thức.
2: Phỏt biểu quy tắc nhõn đa thức với đa thức.
* Bài tập về nhõn đơn thức với đa thức.
Bài 1: Thực hiện phộp nhõn.
 a. 2x 2 . x 3 3x 2 x 1 
 2 1 1 
 b. 10x 3 y z . xy 
 5 3 2 
Giải:
 a. 2x 2 . x 3 3x 2 x 1 = 2x 5 6x 4 2x 3 2x 2
 2 1 1 1 1
 b. 10x 3 y z . xy = 5x 4 y xy 2 xyz
 5 3 2 5 6
Bài 2: Chứng tỏ rằng cỏc đa thức khụng phụ thuộc vào biến.
a. x 2x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 
b. 4 x 6 x 2 2 3x x 5x 4 3x 2 x 1 
Giải:
a. x 2x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 = 
 = 2x 2 x x 3 2x 2 x 3 x 3 3
 Vậy đa thức khụng phụ thuộc vào biến x.
b. 4 x 6 x 2 2 3x x 5x 4 3x 2 x 1 =
 = 4x 24 2x 2 3x 3 5x 2 4x 3x 3 3x 2 24
 Vậy đa thức khụng phụ thuộc vào biến x.
Bài 3: Tớnh giỏ trị của biểu thức sau khi thực hiện cỏc phộp toỏn.
a. 3x 10x 2 2x 1 6x 5x 2 x 2 với x = 15
 1 1
b. 5x x 4y 4y y 5x với x ; y 
 5 2
 1 1
c. 6xy xy y 2 8x 2 x y 2 5y 2 x 2 xy với x ; y 2
 2
Giải:
a. 3x 10x 2 2x 1 6x 5x 2 x 2 =
 =30x 3 6x 2 3x 30x 3 6x 2 12x 15x
 Thay x = 15 ta cú: 15x 15.15 225
b. 5x x 4y 4y y 5x 
 = 5x 2 20xy 4y 2 20xy
 = 5x 2 4y 2
 2 2
 1 1 1 1 4
 Thay x ; y 2 ta cú: 5. 4 1 
 2 5 2 5 5
c. 6xy xy y 2 8x 2 x y 2 5y 2 x 2 xy =
 = 6x 2 y 2 6xy 3 8x 3 8x 2 y 2 5x 2 y 2 5xy 3 =
 = 19x 2 y 2 11xy 3 8x 3
 2 3
 1 1 1 1 
 Thay x ; y 2 ta cú: 19. .22 11. .23 8. 19 44 1 26
 2 2 2 2 
 Tiết 2:
Bài 4: Điền vào chỗ dấu * để được đẳng thức đỳng.
a. 36x 3 y 4 * * 4x 2 y 2y 3 
b. 2a 3b. 4ab 2 * * a 5b 2
Giải:
a. Vỡ *.4x 2 y 36x 3 y 4 9xy 3 .4x 2 y nờn dấu * ở vỊ phải là 9xy3
 Vỡ * ở vế trỏi là tớch của 9xy3 với 2y3 nờn phải điền vào dấu * này biểu thức
 9xy 3 .2y 3 18xy 6 vậy ta cú đẳng thức đỳng.
 36x 3 y 4 18xy 6 9xy 3 . 4x 2 y 2y 3 
b. Lý luận tương tự cõu a.
 1 
 Đẳng thức đỳng là: 2a 3b. 4ab 2 a 2b 8a 4b3 a 5b 2
 2 
Bài 5: Chứng minh cỏc đẳng thức sau:
a. a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b) = -2ac.
b. a(1 - b) + a(a2 - 1) = a.(a2 - b)
c. a.(b - x) + x.(a + b) = b.(a + x)
Giải:
a. VT = a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b)
 2 = ab - ac - ab - bc + ac - bc 
 = -2bc = VP đpcm
b. VT = a.(1 - b) + a.(a2 - 1)
 = a - ab + a3 - a
 = a3 - ab = a.(a2 - b) = VP đpcm.
c. VT = a.(b - x) + x.(a + b)
 = ab - ax + ax + xb
 = ab + xb = b(x + a) = VP đpcm
Bài 6: Tỡm x biết
a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100
b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
Giải:
a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100
 60x2 + 35x - 60x2 + 15x = - 100
 50x = - 100
 x = - 2
b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
 0,6x2 - 0,3x - 0,6x2 - 0,39x = 0,138
 - 0,6x = 0,138
 x = 0,138 : (- 0,6)
 - 0,2
* Bài tập về nhõn đa thức với đa thức
Bài 1: Làm tớnh nhõn.
a. (x2 + 2)(x2 + x+ 1)
b. (2a3 - 1 + 3a)(a2 - 5 + 2a)
Giải:
a. (x2 + 2)(x2 + x+ 1)
 = x4 + x3 + x2 + 2x2 + 2x + 2
 = x4 + x3 + 3x2 + 2x + 2
b. (2a3 - 1 + 3a)(a2 - 5 + 2a)
 = 2a5 - 10a3 + 4a4 - a2 + 5 - 2a + 3a3 - 15a + 6a2
 = 2a5 + 4a4 - 7a3 + 5a2 - 17a + 5
 Tiết 3:
Bài 2: Chứng tỏ rằng đa thức sau khụng phụ thuộc vào biến.
 (x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1)
 3 Giải: (x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1)
 = 3x4 - 2x3 + x2 + 6x3 - 4x2 + 2x + 9x2 - 6x + 3 - 3x4 - 6x2 - 4x3 + 4x = 3
 Kết quả là một hằng số. Vậy đa thức trờn khụng phụ thuộc vào biến.
Bài 3: Cho x = y + 5. Tớnh
a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
b. x2 + y(y - 2x) + 75
Giải: 
 a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
 Từ giả thiết x = y + 5 x - y = 5
 Ta cú: x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
 = x2 + 2x + y2 - 2y - 2xy + 65
 = x2- xy + y2 - xy + 2x - 2y + 65
 =x(x - y) - y(x - y) + 2(x - y) + 65
 = (x - y)(x - y) + 2(x - y) + 65
 = (x - y)2 + 2(x - y) + 65
 = 52 - 2.5 + 65 = 100
 b. x2 + y(y - 2x) + 75
 = x2 + y2 - 2xy + 75
 = x(x - y) - y(x - y) + 75
 = (x - y) (x - y) + 75
 = 5.5 + 75 = 100
Bài 4: Tớnh giỏ trị của biểu thức.
a. A = x3 - 30x2 - 31x + 1 tại x = 31
b. B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x tại x = 14
Giải:
a. Với x = 31 thỡ 
 A = x3 - 30x2 - 31x + 1 = x3 - (x - 1)x2 - x.x +1
 = x3 - x3 + x2 + 1 = 1
b. Với x = 14 thỡ
 B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13
 = x5 - (x + 1)x4 + (x + 2)x3 - (2x + 1)x2 + x(x - 1)
 = x5 - x5 - x4 + x4 + 2x3 - 2x3 - x2 + x2 - x = -x = - 14
Bài 5: CMR với mọi số nguyờn n thỡ
a. (n2 + 3n - 1)(n + 2) - n3 + 2 chia hết cho 5.
b. (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1) chia hết cho 2.
 4 Giải:
a. Ta cú: (n2 + 3n - 1)(n + 2) - n3 + 2
 = n3 + 3n2 - n + 2n2 + 6n - 2 - n3 + 2
 = 5n2+ 5n = 5(n2 + n)  n  n
b. (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1)
 = 6n2 + n + 30n + 5 - 6n2 - 10n + 3n + 5
 = 24n + 10 = 2(12n + 5) 2  n
 Chủ đề 2: Tứ giỏc.
A. Mục tiờu:
- Học sinh nắm được định nghĩa tứ giỏc, tứ giỏc lồi, tổng cỏc gúc của tứ giỏc lồi.
- Biết vẽ, gọi tờn cỏc yếu tố, biết tớnh số đo cỏc gúc của tứ giỏc lồi.
B. Thời lượng: 1 tiết (tiết 4)
Tiết 4:
C. Thực hiện:
Cõu hỏi 
1: Thế nào là một tứ giỏc, tứ giỏc lồi?
2: Tổng cỏc gúc của một tứ giỏc bằng?
Bài 1: Cho tứ giỏc ABCD, đường chộo AC bằng cạnh AD. Chứng minh cạnh BC 
nhỏ hơn đường chộo BD.
Giải: C
Gọi O là giao điểm của hai đường chộo B
Trong tam giỏc AOD ta cú: 
AD < AO + OD (1) O 
Trong tam giỏc BOC ta cú 
BC < OC + BO (2) A D
Cộng từng vỊ của (1) và (2) ta cú: 
AD + BC < AC + BD (3)
Theo đề ra: AC = AD nờn từ (3) BC < BD (đpcm)
Bài 2: Tứ giỏc ABCD cú AB = BC, CD = DA
a. CMR: BD là đường trung trực của AC
b. Chó biết gúc B = 1000, gúc D = 700.
 Tớnh gúc A và gúc C.
 5 A
Giải:
a. BA = BC (gt)
 DA = DC (gt) B D
 BD là đường trung trực của AC
 C
b. ABD CBD (c.c.c) 
 Gúc <BAD = <BCD (hai gúc tương ứng)
 ta lại cú: Gúc <BAD + <BCD = 3600 - <B - <D
 = 3600 - 1000 - 70 0 = 1900
 Do đú: Gúc <A = <C = 1900 : 2 = 95 0
Bài 3: Tớnh cỏc gúc của tứ giỏc: ABCD biết rằng 
 Gúc <A : <B : <C : <D = 1 : 2 : 3 : 4
Giải:
 Theo tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau và tổng cỏc gúc của tứ giỏc ta cú:
 A B C D A B C D 3600
 360
 1 2 3 4 1 2 3 4 10
 Do đú: gúc <A = 360; < B= 720; <C = 1080 ; <D = 1440
 Chủ đề 3: Hỡnh thang
A. Mục tiờu:
- Nắm được định nghĩa hỡnh thang, hỡnh thang vuụng, hỡnh thang cõn.
- Biết vẽ và tớnh số đo cỏc gúc của hỡnh thang.
B. Thời lượng: 4 tiết (Tiết 5, 6, 7, 8)
C. Thực hiện:
Tiết 5:
Cõu hỏi: 
1. Thế nào là hỡnh thang, hỡnh thang vuụng, hỡnh thang cõn.
2. Hỡnh thang cú những tớnh chất nào?
3. Dấu hiệu nhận biết hỡnh thang cõn.
4. Định nghĩa đường trung bỡnh của tam giỏc, đường trung bỡnh của hỡnh thang và 
tớnh chất của nú.
 6 Bài 1: Tớnh cỏc gúc của hỡnh thang ABCD (AB//CD) biết rằng gúc <A = 3<D;
 <C = 300.
Giải: 
 Từ <A + <D = 1800, <A = 3<D <D = 450, <A = 1350
 Từ <B + <C = 1800, <B - <C = 300
 1800 300
 Ta tớnh được: <C = 2 750
 <B = 1800 - 750 = 1050
Bài 2: Tứ giỏc ABCD cú BC = CD và DB là tia gica của gúc D. CMR ABCD là 
hỡnh thang.
Giải:
 BCD cú BC = CD BCD là tam giỏc cõn B C
 <D1 = <B1
Theo gt <D1 = <D2 <B1 = <D2. Do đú BC // AD
Vậy ABCD là hỡnh thang 
 A D 
Bài 3: Chứng minh rằng trong hỡnh thang cỏc tia phõn giỏc của hai gúc kè một 
cạnh bờn vuụng gúc với nhau.
Giải: Xột hỡnh thang ABCD cú AB // CD A B
 1
Ta cú: <A1 = <A2 = <A
 2
 1
<D1 = <D2 = <D E
 2
mà <A + <D = 1800 D C
 0
Nờn <A1 + <D1 = 90 
 0
Trong ADE cú <A1+ <D1 = 90 
 <AED = 900. Vậy AE  DE
Tiết 6:
Bài 4: Cho hỡnh thang vuụng ABCD cú <A = <D = 900; AB = AD = 2cm, 
DC = 4cm. Tớnh cỏc gúc của hỡnh thang.
Giải: A B
Kẻ BH vuụng gúc với CD. Hỡnh thang ABHD 
cú hai cạnh bờn AD// BH AD = BH, AB = DH
Do đú: HB = HD = 2cm HC = 2cm
 7 BHC vuụng tại H <C = 450 D C
 <ABC = 1350 
Bài 5: Hỡnh thang cõn ABCD cú AB // CD. O là gia điểm của hai đường chộo. 
CMR: OA = OB, OC = OD A B
Giải:
Vỡ ABCD là hỡnh thang cõn nờn 
AD = BC, <ADC = <BCD 
 ADC BCD (c.g.c) D C
 <C1 = <D1 OCD cõn OC = OD 
 Ta lại cú: AC = BD nờn OA = OB
Bài 6: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. trờn cỏc cạnh bờn AB, AC lấy cỏc điểm M, N 
sao cho BM = CN.
a. Tứ giỏc BMNC là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
b. Tớnh cỏc gúc của tứ giỏc BMNC biết rằng <A = 400.
Giải:
a. Tam giỏc ABCD cõn tại A A
 1800 A
 <B = <C = 
 2
 Lại cú BM = CN (gt) AM = AN M N 
 AMN cõn tại A
 1800 A
 <M1 = <N1 = 
 2
 <B = <M1 do đú: MN //BC B C
 Vậy tứ giỏc BMNC là hỡnh thang 
 Lại cú: <B = <C nờn BMNC là hỡnh thang cõn.
 0 0
b. <B = <C = 70 , <M2 = <N2 = 110
Tiết 7:
Bài 7: Cho hỡnh thang cõn ABCD cú O là giao điểm của hai đường thẳng chứa 
cạnh bờn AD, BC và E là giao điểm của hai đường chộo. CMR OE là đường trung 
trực của hai đỏy. 
Giải:O
ABCD là hỡnh thang cõn <D = <C
 ODC cõn OD = OC 
 mà AD = BC (gt) OA = OB A B
 8 Vậy O thuộc đường trung trực của hai đỏy E
 ADC BCD (c.c.c) 
 <C1 = <D1 ED = EC (1) D C
Lại cú: AC = BD nờn EA = EB (2) 
Từ (1) và (2) E thuộc đường trung trực của hai đỏy.
 Vậy OE là đường trung trực của hai đỏy.
Bài 8: 
a. Hỡnh thang cõn ABCD cú đỏy nhỏ AB = b, đỏy lớn CD = a. Đường cao AH. 
CMR: HD = a b , HC = a b (a, b cú cựng đơn vị đo)
 2 2
b.Tớnh đường cao của hỡnh thang cõn cú hai đỏy 10cm, 26cm, cạnh bờn 17cm
Giải:
a. KỴ đường cao BK
 AHD BKC (cạnh huyền gúc nhọn)
 HD = KC A B
Hỡnh thang ABKH cú cỏc cạnh bờn 
AH, BK song song nờn AB = HK
Ta cú: a - b = DC - AB = DC - HK
 = HD + KC = 2HD D H K C
 Vậy HD = a b , 
 2
 HC = DC - HD = a b = a b
 2 2
b. Xột hỡnh thang cõn ABCD cú đỏy AB = 10cm, đỏy CD = 26cm, cạnh bờn 
AD = 17cm.
Trước hết ta cú: HD = 8cm
 AH2 = 172 - 82 = 289 - 64 = 225 = 152
 Vậy AH = 15cm
Bài 9: Cho tam giỏc ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = 1 DC. Gọi M là 
 2
trung điểm của BC, I là gia điểm của BD và AM. CMR: AI = IM
Giải: A 
Gọi E là trung điểm của DC. D
Vỡ BDC cú BM = MC, DE = EC. I 
Nờn BD // ME DI // EM E
Do AME cú AD = DE, DI // EM 
 9 Nờn AI = IM B M C 
Tiết 8:
Bài 10: Cho tứ giỏc ABCD. Gọi E, F, I theo thứ thự là trung điểm của AD, BC, 
AC. CMR
 a. EI // CD, IF // AB 
 b. b. EF < AB CD 
 2
Giải:
 Xột ADC cú: AE = ED 
 1
 AI = IC nờn EI // DC, EI = DC 
 2
 Tương tự ABC cú: AI = IC, BF = FC 
 B
Nờn IF // AB, IF = 1 AB A
 2
b. Trong EFI ta cú: EF EI + IF K
 CD AB
 EF E F
 2 2
 AB CD
 Vậy EF 
 2 D C
 Dấu “=” xảy ra khi E, I, F thẳng hàng, tức AB // DC
Bài 11: Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của AD, N là trung 
điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN và BD, MN và AC. Cho 
biết AB = 6cm, AD = 14cm. Tớnh cỏc độ dài MI, IK, KN.
Giải:
 Vỡ MN là đường trung bỡnh của 
hỡnh thang ABCD nờn MN // AB // DC A B
Xột ADC cú AM = MD, MK // DC 
 KA = KC 
 DC 14
Do đú: MK = 7cm I K 
 2 2
Tương tự: ABD cú AM = MD, MI // AB D C
nờn BI = ID 
 1 6
Do đú: MI = AB 3cm 
 2 2
Từ đú ta cú: IK = MK - MI = 7 - 3 = 4cm
Xột ABC cú BN = NC, NK // AB
 10