Đề đề nghị thi HSG đồng bằng sông Cửu Long lần thứ 16 – năm học 2008 – 2009 - Môn Toán Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.CẦN THƠ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG
KỲ THI HSG ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG
LẦN THỨ 16 – NĂM HỌC 2008 – 2009
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN HỌC
Thời gian làm bài : 180 phút
Bài 1. (Đại số – 3 điểm)
 Tìm các giá trị thực của a sao cho tồn tại 5 số thực không âm thỏa đồng thời các điều kiện 
Bài 2. (Hình học phẳng – 3 điểm)
Cho DABC nhọn, H là trực tâm của tam giác. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của HA, HB, HC với đường tròn ngoại tiếp DABC. Chứng minh 
Bài 3. (Số học – 2 điểm)
Chứng minh phương trình vô nghiệm với x, y, z Î Z.
Chứng minh phương trình có nghiệm với x, y, z Î Z.
Bài 4. (Giải tích – 3 điểm)
 Cho dãy số (an) bị chặn và 
 Chứng minh rằng dãy (an) hội tụ.
Bài 5. (Tổ hợp – 3 điểm)
Cho 15 bài toán trắc nghiệm, đánh số từ 1 đến 15. Mỗi bài chỉ có 2 khả năng trả lời: Đúng hoặc Sai.
Có 1600 thí sinh tham gia thi, nhưng không có ai trả lời đúng 2 bài liền nhau.( Nếu xem bài làm của mỗi thí sinh tương ứng với một dãy 15 phần tử Đ, S thì không bài làm nào có dạng: ĐSĐĐSSSSSSĐSĐSS 2 chữ đúng kề nhau.)
Chứng minh rằng có ít nhất 2 thí sinh trả lời toàn bộ 15 bài giống hệt như nhau. 
Bài 6. (Đại số – 3 điểm)
 Tìm các hàm f: R ® R khả vi và thỏa điều kiện 
Bài 7. (Hình không gian – 3 điểm)
 Cho tứ diện ABCD có các trung điểm các cạnh đều thuộc một mặt cầu. . 
Hãy tính thể tích tứ diện ABCD theo BC .
---------------------------------HẾT--------------------------------