Đề dự bị 2 – Toán khối A – Năm 2006

 ĐỀà DỰ BỊ 2 –TOÁN KHỐI A –năm 2006 
Phần Chung Cho Tất Cả Các Thí Sinh 
Câu I (2 đ) 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
y = ( )x x− −
4
22 1
2
2) Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(0, 2) và tiếp xúc với (C). 
Câu II (2 đ) 
1) Giải phương trình: 2sin 2x - π⎛⎜⎝ ⎠6
⎞⎟ + 4sinx + 1 = 0 
2) Giải hệ phương trình: ,
( )
x x y y
x y R
x y
⎧ − = +⎪ ∈⎨ − = +⎪⎩
3 3
2 2
8 2
3 3 1
Câu III (2 đ) 
 Trong không gian với hệ trục Oxyz. Cho mp 
(α ): 3x + 2y – z + 4 = 0 và hai điểm A(4, 0, 0) ; B(0, 4, 0). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. 
1) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mp (α ) 
2) Xác định tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mp (α ) đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và mp 
(α ). 
Câu IV (2 đ) 
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 – x + 3 và 
 đường thẳng d: y = 2x + 1 
2) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z− − −+ + =3 3 3 1. Chứng minh rằng: 
x y z x y
x y z y z x z x y+ + +
+ ++ + ≥+ + +
9 9 9 3 3
3 3 3 3 3 3 4
z3 
Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu Va hoặc câu Vb 
Câu Va (2đ) 
1) Trong mp với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0, cạnh BC 
song song với d. Phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1, 1). Tìm 
tọa độ các đỉnh A, B, C. 
2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất 
cả các số tự nhiên đó. 
Câu Vb (2 đ) 
1) Giải phương trình: log log logx x x+ =2 22 2 4 8 
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 
AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Trên cạnh SA 
lấy điểm M sao cho 
AM = a 3
3
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. 
 Tính thể tích khối chóp S.BCNM 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Câu I 
1/ KS: y= x x− +
4
22
2
2 .MXĐ: D=R 
y’=2x3-4x=2x(x2-2); y’= 0 x=0 hay x=⇔ ± 2 
x −∞ − 2 0 2 +∞ 
y' − 0 + 0 − 0 + 
y +∞ 2 +∞ 
 0 CĐ 0 
 CT CT 
y”=6x2-4; 
y”=0=>x= ± ±2 6
3 3
Đồ thị hàm số: Học sinh tự vẽ. 
2/ pt tiếp tuyến d qua A(0,2) có dạng d:y=kx+2 
d là tiếp tuyến của (C) 
có nghiệm 
( )
( )
x x kx
x x k
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
− + = +
⇔
− =
4
2
2
2 2 2 1
32 4 2
Thay (2) vào (1) ta có phương trình hòanh độ tiếp điểm là 
3x4-8x2=0 x=0 hay x=⇔ ± 8
3
• x=0 thì k=0 ta có tiếp tuyến d1: y=2 
• x= ± 8
3
 thì k= ± 8 2
3 3
 ta có hai tiếp tuyến d2,3:y= ± 8 23 3 x+2 
Câu II 1/ Giải phương trình: sin sinx xπ⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟⎝ ⎠2 2 4 16 0 (1) 
(1) ⇔ 3 sin2x-cos2x+4sinx+1=0 2 3 sinxcosx+4sinx+2sin2x=0 
⇔ sinx( 3 cosx+sinx+2)=0 
sin cos sin
sin cos( )
x hay x x
x hay x x k hay x kπ ππ π
= + + =
= − = − ⇔ = = +
⇔
⇔
0 3 2 0
70 1
6 6
2
2/ Giải hệ phương trình 
( )
x y y
y
x
x
− = +⎧⎪⎨⎪ − = +⎩
3 3
2 2
8 2
3 3 1
 (I) 
(I) 
( ) (
( )
y x y
y
x
x
⎧ − = +⎪⇔ ⎨⎪ − =⎩
3 3
2 2
2 4 1
3 6 2
)
)Thế (2) vào (1) ta có: ) ( ) )(( (y x y y x yx x− = + = − +3 3 2 36 4 3 43 
x y xy x hay x yhay x yx + − = ⇔ = = = −⇔ 3 2 212 0 0 3 4 
— x= 0 -3y2 = 6 vô nghiệm ⇒
— x=3y thay vào (2) có hai nghiệm (3,1) và (-3,-1) 
— x=-4y thay vào (2)có nghiệm . , . ,hay⎛ ⎞ ⎛− −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
6 6 6 64 4
13 13 13 13
⎞⎟⎟⎠
Câu III 1/ Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với mp(α ) 
pt AB: Toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với mp(
x y
z
+ =⎧⎨ =⎩
4
0
α ) là nghiệm của hệ phương trình: 
( , ,
x y x
z y M
x y z z
+ = = −⎧ ⎧⎪ ⎪= ⇔ = ⇒ −⎨ ⎨⎪ ⎪+ − + = =⎩ ⎩
4 12
0 16 1
3 2 4 0 0
)2 16 0 
2/Vì I là trung điểm của AB ⇒ I(2,2,0). Gọi K (x; y; z ) 
 cùng phương KI
uur
( )n α
uur
 và KO = d(K,(α )) 
 ⇔ , ,
x y z
Kx y z
x y z
− −⎧ = =⎪ − −⎪ ⎛ ⎞⇔⎨ ⎜ ⎟+ − + ⎝ ⎠⎪ + + =⎪⎩
2 2 2
2 2
3 2 1 1 1 3
3 2 4 4 2 4
14
Câu IV 
1/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi P:y=x2-x+3 và d:y=2x+1 
Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: x2-x+3 = 2x+1 
 x=1 hay x=2 ⇔
( )S x x x dx⎡= + − − + =⎣∫ 2 21 12 1 3 6⎤⎦ ]2 ( vì 2x + 1 ) , [ ;x x x≥ − + ∀ ∈2 3 1
2/ Chứng minh bất đẳng thức 
x
y zx ++
9
3 3
 + 
y
y z x++
9
3 3
 + 
z
x yz ++
9
3 3
 ≥ yx z+ +3 3 34 
với 3-x + 3-y + 3-z = 1 Đặt a =3x, b =3y, c =3z 
Theo giả thiết ta có:a,b,c > 0 và ab + bc + ca= abc (1) 
Bất đẳng thức cần chứng minh: a b c a b c
a bc b ca c ab
+ ++ + ≥+ + +
2 2 2
4
⇔ a b c a b
a abc b abc c abc
+ ++ + ≥+ + +
3 3 3
2 2 2 4
c (2) 
Thay abc vào (2) ta có: 
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c a b c
a b a c b c b a c a c b
+ ++ + ≥+ + + + + +
3 3 3
4
Áp dụng BĐT côsi cho 3 số dương ta có: 
.
( )( )
a a b a c a
a b a c
+ ++ + ≥ =+ +
3 3 33
8 8 64
3 a
4
.
( )( )
b b c b a b
b c b a
+ ++ + ≥ =+ +
3 3 33
8 8 64
3 b
4
.
( )( )
c c a c b c
c a c b
+ ++ + ≥ =+ +
3 3 33
8 8 64
3 c
4
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có ĐPCM. 
Câu Va 
1/ Tìm toạ độ A,B,C 
Vì AC BH có hệ số góc bằng -1 suy ra hệ số góc của AC là 1. ⊥
 Vì M(1,1)∈AC pt AC:y-1=1(x-1) y = x .Tọa độ A là nghiệm của hệ: ⇒ ⇔
,x y A
x y
y x
⎧⎪ ⎛ ⎞⇔ = = − ⇒ − −⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎩
− − =
=
2 2
3 3
2
3
04 2
Vì M(1,1) là trung điểm của AC⇒ ,C ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
8 8
3 3
Cạnh BC//d và qua C 
⇒ pt BC: (x- 8
3
) – 4( y-
8
3
) = 0 hay .Tọa độ B là nghiệm của hệ : x y− − =4 8 0 ( ),x y B
x y
+ + =⎧ ⇒ −⎨ − − =⎩
3 0
4 1
4 8 0
2/ Gọi . . . . .n a a a a a a a a a a= = + + + +4 3 2 14 3 2 1 0 4 3 2 1 010 10 10 10 100 là số cần lập 
 Ta có 4 cách chọn a4 
 4 cách chọn a3 
 3 cách chọn a2 
 2 cách chon a1 
 1 cách chọn a0 
Vậy có 4.4.3.2.1=96 số n 
Cách 2 : Ta có 4 cách chọn a4 và 4! cách xếp 4 số còn lại 
Vậy có 4.4!= 96 số n 
* Tính tổng 96 số n lập được 
Có 24 số n a a a a= 4 3 2 10 ; 
Có 18 số n a a a a= 4 3 2 11;Có 18 số n a a a a= 4 3 2 12 ; 
Có 18 số n= n a a a a= 4 3 2 13 ;Có 18 số n a a a a= 4 3 2 14 
Tổng các chữ số hàng đơn vị là: 18(1+2+3+4)=180. Tương tự ; tổng các chữ số hàng chục là: 1800;tổng các 
chữ số hàng trăm là: 18000;tổng các chữ số hàng ngàn là: 180000. 
Có 24 số n a a a a= 3 2 1 01 ; Có 24 số n a a a a= 3 2 1 02 ;Có 24 số n a a a a= 3 2 1 03 ; Có 24 số n a a a a= 3 2 1 04 
Tổng các chữ số hàng chục ngàn 24(1+2+3+4)10000=2400000 
Vậy tổng 96 số n là 180+1800+18000+180000+2400000=2599980 
Cách 2 : Có 24 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4 ) đứng ở vị trí a4 . 
 Có 18 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4 ) đứng ở vị trí ai với i = 0, 1, 2, 3 
Vậy tổng 96 số n là ( 1+2+3+4 ) [ ] . (+ + + +4 3 2 124 10 18 10 10 10 10 )0
Câu Vb 
1/ Giải pt: log log logx x+ =2 22 2 4 8x (1) 
( )
log log log log log log
log
x
x x x x
x x
⇔ + = ⇔ + =
⇔ = ⇔ =
+ +2 2 2 2
2
1 4 6 1 1 61
2 2 2
1 2
1 1 x2 
2/ Tính thể tích hình chóp SBCMN 
(BCM)//AD nên nó cắt (SAD) theo giao tuyến MN//AD 
Ta có BC BM
BC AB
BC SA
⎧⎪ ⇒ ⊥⎨⎪⎩
⊥
⊥ 
Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao 
Ta có SA=ABtg600= a 3 
aaMN SM MN
AD SA a a
−
= ⇔ = =
33 23
2 33
⇒ MN = a4
3
, 
BM = a aa + =
2
2 2
3 3
Diện tích hình thang BCMN là 
BC MNS BM
aa a aS
+=
⎛ ⎞+⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2
2
42 2 103
2 3 3 3
( ).SBCMNV SH dt BC= 13 MN Hạ SH BM.Ta có SH⊥ ⊥BM và BC⊥ (SAB)≡ (SBM) BC SH ⇒ ⊥
Vậy SH (BMCN) SH là đường cao của khối chóp SBCNM 
Trong tam giác SBA ta có 
⊥ ⇒
AB AB AMSB a
cos SB MS
= = => =0 1260 2= 
Vậy BM là phân giác của góc SBH ⇒ SBH = 030
⇒SH=SB.sin300=2a. 1
2
= a 
V=
1
3
a. a =
2 a310 3
273 3
10 
Hà Văn Chương - Phạm Hồng Danh - Lưu Nam Phát 
(Trung Tâm Luyện Thi Vĩnh Viễn)