Đề – gợi ý thi HSG Toán 12 – Chuyên Lê Quý Đôn

Đề – gợi ý thi HSG toán 12 – chuyên LQĐ – Bình Định 2010-2011
ĐỀ THI 180 PHÚT
Ngày thi: 01/10/2010
Bài1: (4 điểm) Giải hệ phương trình sau:
Bài2: (4 điểm) Cho ba số thực dương thỏa mãn: . Tìm GTLN của biểu thức:
Bài3: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC và XY là một dây cung vuông góc với BC. Lấy P, M nằm trên đường thẳng XY và CY tuơng ứng, sao cho CY song song với PB và CX song song với MP; K là giao điểm của CX và BP. Chứng minh rằng MK vuông góc với BP.
Bài4: (4 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b), trong đó a và b có hai chữ số và thỏa mãn 100a+b và 201a+b là các số chính phương có 4 chữ số.
Bài5: (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện:
Gợi ý:
Bài 1:
ĐK: x>0;
pt (1) tương đương
hoặc 
* Xét, từ pt 2 ta thấy y>0 nên vô lý.
Do đó , thế vào 2 ta được
(1)
Đặt ta có với mọi x>0.
nên f(t) đồng biến trên 
Mặt khác, xét ta có 
Do đó g(t) nghịch biến.
Suy ra pt (1) có nhiều nhất 1 nghiệm trên tập xác định. dễ thấy là nghiệm của pt, vậy đó là nghiệm duy nhất.
ta có 
Vậy nghiệm của hệ là 
Bài 2:
suy ra
hoặc 
Vì a+b+c=1 và a, b, c >0 nên a<1. Suy ra pt có nghiệm 
Lập bảng biến thiên ta thấy 
Dấu “=” khi 
Bài 4:
Đặt ,
Vì là số chính phương có 4 chữ số nên 
Trừ vế theo vế
Mặt khác và 
Thế vào 2 biểu thức ban đầu, được
Do pt trên có nghiệm nguyên dương nên là số chính phương.
Khi đó đặt , vì nên 
Mà k chẵn nên k=284, suy ra b=64, a=17
Thử lại.
Vậy  (a,b)= (17;64)
Bài 5
(1)
Đặt f(0)=a
Thay x=y=0 vào (1), ta được (2)
Thay x=y vào (1), ta được (3)
Suy ra (4)
Nếu tồn tại 
Thay y=0 vào (1) được (5)
Thay x=0, y=-x vào (1) được
(6)
Từ (5) và (6):
(7)
Thay vào (7) được (8)
Mặt khác từ (3) suy ra f đơn ánh. Nên từ (8) suy ra (mâu thuẫn). Do đó . Hay (9)
Thay (9) vào (7) ta được 
Suy ra a=0 vì nếu thì (mâu thuẫn với (8))
Do đó, từ (3) có 
Nếu tồn tại thì khi đó theo (5) ta có (vô lý)
Nghĩa là 
Do vậy từ (9) ta được 
Thử lại thấy thỏa mãn.
Kết luận: nghiệm thỏa mãn PT đã cho là 
Bài 3:
Gọi 
Đặt 
Ta có 
Và 
Suy ra tam giác BPD cân tại P. 
Do tam giác KPX cân tại K () nên KX=KP
Suy ra MC=KP=KA (MCKP là hình bình hành) . Mà MC//KA suy ra MCAK là hình bình hành
Suy ra MK//AC hay (đpcm)