Đề học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - SGD Bình Dương (Có đáp án)

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BÌNH DƯƠNG 
NĂM HỌC:2016-2017 
Câu 1: (5 điểm) 
a) Tìm tất cả các ngiệm nguyên của phương trình 2017x y  
 b) Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số 
đó dạng 82xxyy với xxyy là số chính phương. 
Câu 2: (4 điểm) 
Tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn ( );O R , ( ; )M O R . Chứng minh 
rằng: 2 2 2 26MA MB MC R   
Câu 3: (3 điểm) 
a) Giải phương trình: 
 
2
2 2
1
1
3 9 4 3 9
x
x x
 
   
b) Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
1
( ) 1 5
1
( ) 1 49
x y
xy
x y
x y
  
    
  

     
 
Câu 4: (3 điểm) 
a) Chứng minh với mọi số , , ,a b c d ta luôn có: 
2 2 2 2 2( )( ) ( )a c b d ab cd    
b) Cho , 0a b  chứng minh rằng: 
2 2 1
(4 3 )(3 4 ) 25
a b
a b a b


 
Câu 5: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD . Gọi , , ,M N P Q lần lượt là trung điểm 
của , , ,AB BC CA DA . Chứng minh 
rằng: ( )(.
4
)
1
ABCDS MP NQ AB CD AD BC    
Câu 6: (2,0 điểm) 
Cho đa giác lồi có 12 cạnh 
a) Tìm số đường chéo 
b) Tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác đó ? 
LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BÌNH DƯƠNG 
NĂM HỌC 2016-2017 
Người giải đề: Triệu Tiến Tuấn 
Câu 1: (5 điểm) 
a) Tìm tất cả các ngiệm nguyên của phương trình 2017x y  
b) Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số 
đó dạng 82xxyy với xxyy là số chính phương. 
Lời giải 
a) Phương trình: 22017 ( , 0) 2017 4034x y x y x y y       
Do ,x y Z y Z   
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: 2 2; (2017 )x a y a   
b) Ta có: 11 0xxyy x y là số chính phương nên 
0 11 100 11 99 11
11
11
0
0
11
x y x y x x y
x y
x y
x y
x y
x y
    
 
     
 
   
Ta có: 211 0 11(99 ) 11(99 11) 11 (9 1)xxyy x y x x y x x        
9 1x  là số chính phương. 
7 4x y    
Vậy 7744; 0000xxyy xxyy  
Câu 2: (4 điểm) 
Tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn ( );O R , ( ; )M O R . Chứng minh 
rằng: 2 2 2 26MA MB MC R   
Lời giải 
H
I
O
K
A
C B
M
Giả sử M AC 
Dễ thấy: MA MC MB  (trên MB lấy I sao 
cho MI MC , ta chứng minh: IB MA ) 
Đặt: ; ;MA x MB y MC y x    . Ta có: 
2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) (1)AM BM CM x y x y x y xy        
Kẻ 2 2
3
2 4
x
AH BM MH AH x     
Mà 
2
x
BH MB MH y    
2 2 2 2 2 2 2 2
2
3 1
(2)
4 4
x
BH MB MH y
AB AH BH x y x xy x y xy
   
         
Từ 2 2 2 2 2 2(1),(2) 2 2( 3) 6 ( )AM BM CM AB R R dpcm      
Câu 3: (3 điểm) 
a) Giải phương trình: 
 
2
2 2
1
1
3 9 4 3 9
x
x x
 
   
b) Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
1
( ) 1 5
1
( ) 1 49
x y
xy
x y
x y
  
    
  

     
 
Lời giải 
a) Phương trình: 
 
2
2 2
1
1
3 9 4 3 9
x
x x
 
   
Điều kiện: 
2
2
9 0 3 3
03 9 0
x x
xx
     
 
   
 
  
   
 
 
   
 
2 2
2
2 2 2 2
2
2
2
2 2
2 2 2
3 9 3 91 1
1 1
3 9 4 3 9 3 9 4 3 9
1
3 9 1
4 3 9
4 3 9 4 3 9 1 0
1 5 11
3 9 9
2 2 4
11
( )
2
x xx
x x x x
x
x
x x
x x x
x tmdk
   
    
       
    
 
       
        
  
b) Hệ phương trình: 
2 2
2 2
1
( ) 1 5
: , 0
1
( ) 1 49
x y
xy
dk x y
x y
x y
  
    
  

     
 
22
2 2
2 2
1 11 1 55
1 1 1 1
49 53
x yx y
x yx y
x y x y
x y x y
        
 
  
                 
Đặt 
1 1
;x a y b
x y
    ta được: 
2 2 2
5 5 7; 2
2; 753 2 10 28 0
a b a b b a
b aa b b b
        
   
        
 
1
12
2
7 3 517
7 2
xx
a x
b yy
y

       
    
     
 
1
7 7 3 5
7
2
12
2 1
x
a x x
b
y y
y

     
   
       
Câu 4: (3 điểm) 
a) Chứng minh với mọi số , , ,a b c d ta luôn có: 
2 2 2 2 2( )( ) ( )a c b d ab cd    
b) Cho , 0a b  chứng minh rằng: 
2 2 1
(4 3 )(3 4 ) 25
a b
a b a b


 
Lời giải 
a) Ta có: 
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
( )( ) ( )
2
2 0
a c b d ab cd
a b a d c b c d a b c d abcd
a d c b abcd
   
      
   
 
2
0ad cb   luôn đúng. 
b) Ta có: 
2 2
2 2
2 2 2
1
25 25 (4 3 )(3 4 )
(4 3 )(3 4 ) 25
13( ) 25 13( ) 0
a b
a b a b a b
a b a b
a b ab a b ab

     
 
       
Dấu “=” không xảy ra, vậy: 
2 2 1
(4 3 )(3 4 ) 25
a b
a b a b


 
Câu 5: (3 điểm) 
Cho tứ giác ABCD . Gọi , , ,M N P Q lần lượt là trung điểm 
của , , ,AB BC CA DA . Chứng minh 
rằng: ( )(.
4
)
1
ABCDS MP NQ AB CD AD BC    
Lời giải 
Ta có: . 2 MNPQ ABCDMP NQ S S  
Gọi R là trung điểm của AC , ta 
có : 
1 1
;
2 2
NR AB QR CD  
Suy ra: 
1
( )
2
NQ NR QR AB CD    
Tương tự: 
1
( )
2
PM AD BC  
1
MP.NQ ( )( )
4
AB CD AD BC    
1
.
4
( )( )ABCDS MP NQ AB CD AD BC    
Câu 6: (2 điểm) 
Cho đa giác lồi có 12 cạnh 
a) Tìm số đường chéo 
b) Tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác đó ? 
Lời giải 
a) Số đường chéo của đa giác là: 
 12 12 3
54
2

 
R
Q
M
N
PD C
B
A
b) Nhận thấy rằng với mỗi cạnh của tam giác, ta lập được 10 tam giác 
mà mỗi tam giác thỏa mãn đề bài mà đa giác ban đầu có 12 cạnh nên 
số tam giác thỏa mãn đề bài là 10.12 120 
Tuy nhiên nếu như tính theo cách trên thì các tam giác mà có 2 cạnh 
là 2 cạnh kề của đa giác đã cho được tính 2 lần 
Ta có số tam giác được tính 2 lần như trên là 12 tam giác nên số tam 
giác thỏa mãn đề bài thực chất là: 120 12 108  tam giác.