Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán (Đề 1) - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT huyện Nho Quan (Có đáp án)

UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2014 - 2015
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 5 câu trong 01 trang)
Câu I (5,0 điểm).
1. Rút gọn các biểu thức sau: 
a) b) 
2. Cho biểu thức với .
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Câu II ( 4,0 điểm).
1. Cho hàm số bậc nhất (1) và đường thẳng d:. 
a) Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) là hàm số đồng biến trên .
b) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số và đường thẳng d cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c) Tìm trên đường thẳng d những điểm có tọa độ thoả mãn đẳng thức.
2. Giải phương trình .
Câu III (4,0 điểm).
1. Cho là một số nguyên. Chứng minh rằng: 
a) chia hết cho 30.
b) Biểu thức là một số nguyên. 
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình .
Câu IV (5,5 điểm). 
Cho tam giác cân tại và nội tiếp đường tròn , các đường cao cắt nhau tại .
1. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đi qua 4 bốn điểm .
b) .
c) là tiếp tuyến của đường tròn tâm .
2. Đặt . Tính . 
Câu V (1,5 điểm). 
Cho là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
.Hết.
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
HD VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2014 - 2015
Hướng dẫn chấm gồm : 04 trang
I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
Thí sinh làm bài theo cách khác đáp án, nếu đúng thì cho điểm tương đương.
Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm. Bài hình nếu hình vẽ không khớp với CM, hoặc không vẽ hình thì không chấm.
Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Câu
Nội dung
Điểm
Câu I (5,0đ)
1a
 (1,0 điểm)
= 
0,25
=
0,25
0,25
0,25
1b
(1,0 điểm)
0,5
0,5
2
( 3,0 điểm)
a) 
0,5
= 
0,5
 = .
0,5
b) Với thì A = .
0,5
 khi .
0,25
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng 2 khi .
0,25
Câu II (4,0đ)
1 
(2,5đ)
a) Hàm số bậc nhất đồng biến trên 
0,25
.
0,25
b) Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3ta được 
0,25
Để đồ thị hàm số (1) và đường thẳng d cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung thì tọa độ thỏa mãn (1), ta có 
0,5
. Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25
c) Thay y = 2x + 3 vào đẳng thức ta được: x2 + (2x + 3)2 – 2x(2x + 3) – 4 = 0
0,25
x2 + 6x + 5 = 0(x + 1)(x + 5) = 0 x = –1 ( y = 1), x = –5 ( y = –7).
0,5
Những điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thức là 
 (–1; 1) và ( –5; –7).
0,25
2 
(1,5đ)
ĐK: 
0,25
PT 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm phương trình là 
0,25
Câu III (4,0đ)
1a
 (2,0 điểm)
C = = 
0,25
0,25
Ta có là tích của năm số nguyên liên tiếp nên
. Vì 2, 3, 5 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau nên (1)
0,5
 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên .
0,5
Mặt khác , vì (2)
0,25
Từ (1) và (2) 
0,25
1b
 (2,0 điểm)
=
0,5
Theo chứng minh trên 
075
 là các số nguyên. 
0,5
Biểu thức là một số nguyên. 
0,25
2
( 2,0 điểm)
 (1)
(1) (2)
0,25
*) không là nghiệm của (2) nên . Từ (2) ta có .
0,25
Do nên PT có nghiệm nguyên khi
 là ước của 5 (3)
0,25
*) Mặt khác không là nghiệm của (2) Từ (2) ta có
0,25
Do nên PT có nghiệm nguyên khi
 là ước của 4 (4)
0,25
Từ (3) và (4) ta có 
0,25
, thoả mãn (1)
0,25
Vậy PT có nghiệm nguyên là 
0,25
Câu IV (5,5đ)
 (0,25 điểm)
0,25
a
 (1,25 điểm)
a) đường tròn đường kính (1)
0,25
 đường tròn đường kính (2)
0,25
Từ (1) và (2) cùng thuộc đường tròn đường kính 
0,25
Vậy bốn điểm cùng thuộc đường tròn đường kính 
0,25
Tâm của đường tròn đi qua bốn điểm là trung điểm của 
0,25
b
 (1,5 điểm)
b) Xét có chung, 
 (g.g) 
0,5
0,5
Lại có 
0,5
c
 (1,5 điểm)
c) Xét có cân tại (3)
0,5
Ta có (do là đường cao của tam giác cân ) nên là trung tuyến thuộc cạnh huyền của cân tại (4)
0,5
Mặt khác (5)
0,5
Mà (5)
0,25
Từ (3), (4), (5) là tiếp tuyến của .
0,25
d
 (1,0 điểm)
d) Theo chứng minh trên ta có nên vuông tại nên 
, . Do đó 
= 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu V
(1,5đ)
Ta có 
0,25
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: .
Tương tự ta có , 
0,25
Mà 
0,25
Kết hợp các đánh giá trên ta có 
0,25
Đẳng thức xảy ra khi 
0,25
Vậy khi 
0,25