Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán (Đề 2) - Năm học 2012-2013 - Phòng GD&ĐT huyện Nho Quan (Có đáp án)

 UBND HUYỆN NHO QUAN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
 MÔN: TOÁN 
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:	
a) A = 
	b) B = 
	c) C = 
Bài 2: (3,5 điểm) Cho hàm số: mx – 3x + m + 1 (m là tham số)
 a) Tìm điều kiện của m để hàm số trên đồng biến?
Xác định điểm cố định của đồ thị hàm số?
c) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1 (đơn vị diện tích).
Bài 3: (4 điểm) Giải các phương trình.
 a) 
 b) 	
Bài 4: (5,5 điểm)
 Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của AC, AM cắt HN tại G. Đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC. 
 SAEF = SABC . 2
BH.KM = BA.KN
Bài 5: (3 điểm) 
a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P =
 b) Tìm số tự nhiên n để biểu thức là số nguyên tố.
	- HẾT - 
 UBND HUYỆN NHO QUAN HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI 
PHÒNG GD – ĐT NHO QUAN	 NĂM HỌC 2012-2013
 MÔN: TOÁN 9
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
Ghi chú
1
a
0.5
0,5
0.5
4.0
b
0.5
0,5
0.5
c
C = 
 = = 4
0,5
0,5
2
a
 mx – 3x + m + 1 y = (m – 3)x + (m + 1)
- Hàm số đồng biến khi m – 3 > 0 hay m > 3
0,5
0,5
3,5
b
y = (m – 3)x + (m + 1)
Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số
Ta có; y0 = mx0 – 3x0 + m+ 1 thỏa mãn với mọi giá trị của m
 Vậy điểm cố định cần tìm M(-1; 4)
0.5
0.5
c
Ta có: Đồ thị là đường thẳng cắt hai trục tọa độ khi m – 3 
Tìm được SABO =
Nếu m > 3 m2 +2m +1 = 2m -6m2 = -7 (không có giá trị nào của m thoả mãn)
Nếu m < 3 m2 +2m +1 = 6 – 2m m2 + 4m – 5 =0	
(m – 1)(m + 5) = 0 
 m = 1; m = -5 
Vậy 
0.75
0,25
0.25
0,25
3
a
Vậy tập nghiệm của phuơng trình là: 
0.5
0,5
0,5
0,5
4,0
b
ĐK : 
x = 7 thỏa ĐKXĐ 
Vậy tập nghiệm của phương trình 
0,5
0.5
0.75
0,25
4
5,5
a
 vuông tại E nên 
 vuông tại F nên 
Mà 
Xét 
 AEF và ABC có : (góc chung)
Suy ra AEF ABC (c.g.c)
0,5
0,5
0,5
0,5
b
Vì AEF ABC nên 
0,5
0,5
c
và có ; (Góc có cạnh tương ứng song song)
Suy ra đồng dạng với ( g.g); 
0,5
0,5
d
 đồng dạng với nên ( Vì MN là đường TB của tam giác AHC); Lại có: ; ( G là trọng tâm của tam giácAHC)
. Mặt khác ( so le trong)
đồng dạng với tam giác (c.g.c)
0,5
0,25
0,5
0,25
5
a
P = ĐKXĐ : 
P2 = x -2 + 6- x +2
 = 4 + 2
Vì 2 Nên P2 hay A 
Dấu “=” xảy ra x = 2 hoặc x = 6 (tm ĐK)
- Do đó minA = 2 x = 2 hoặc x = 6 
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm x -2 và 6 –x
 2 x -2 + 6 –x = 8
 4 + 2 + x -2 + 6 –x = 8
 P2 hay P 
Dấu “=” xảy ra x - 2 = 6 - x hay x = 4 (tm ĐK)
 - Do đó maxP = x - 2 = 6 - x hay x = 4 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 2 x = 2 hoặc x = 6
 Giá trị lớn nhất của P = x = 4
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3,0
b
Ta có: = 
Vơí để là số nguyên tố thì phải có một thừa số bằng 1 mà 
Nên 
Thử lại, với n = 1 thì = 3 (T/M)
	Với n = 0 thì = 1(Không là số nguyên tố)
Vậy với n = 1 thì là số nguyên tố
0,25
0,25
0,25
0,25