Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán (Đề 2) - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT huyện Nho Quan (Có đáp án)

UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học: 2014-2015
MÔN THI: TOÁN 
 Thời gian làm bài:150 phút
Câu 1. (2.5 điểm)
	1) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 3)x – 3m – 1, (với m là tham số, ) đi qua điểm A(1;4)
2) Rút gọn các biểu thức: M= 
 N= 
Câu 2. (4.0 điểm) Cho biểu thức P= , với 
1) Rút gọn P 
2) Tìm x để P >0 
3) Tìm giá trị lớn nhất của P
Câu 3. (5.0 điểm)
1) Giải các phương trình sau: a) 
 b) 
2) Chứng minh rằng: Với n là số tự nhiên thì n5 và n có chữ số tận cùng giống nhau.
Câu 4. (6.5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố đinh nằm ngoài đường tròn. Đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên đường thẳng d lấy điểm M (). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MB, MC với đường tròn ( B, C là hai tiếp điểm). Dây BC cắt OA tại K.
1) Chứng minh rằng OM vuông góc với BC;
2) Chứng minh rằng OA.OK= R2 và đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường thẳng d;
3) Giả sử điểm M cố định trên d. Gọi S là điểm nằm trong tam giác MAO và các điểm H,D,E lần lượt là hình chiếu của S trên OM, OA, AM. Hãy xác định vị trí điểm S sao cho tổng đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5. (2.0 điểm)
1) Tìm các số tự nhiên n sao cho có giá trị là một số tự nhiên.
2) Tìm cặp số thực (x ;y) thỏa mãn : .
UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HDC KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Năm học: 2014-2015
MÔN THI: TOÁN 
 Hướng dẫn chấm gồm 05 trang
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(2.5 điểm)
1. (0.75 điểm)
Để đồ thị hàm số y = (m + 3)x – 3m – 1 đi qua điểm A(1;4) thì
 4= (m+3).1- 3m- 1
m= -1 
Vậy m= -1
0.25
0.25
0.25
2. (1.75 điểm)
M= 
 = 
 = 
 = 
 = 6
N= 
 =
 =
 =
 =
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 2
(4.0 điểm)
1. (2.0 điểm)
P= 
= 
=
=
0.25
0.25
0.75
=
=
= =
0.25
0.25
0.25
2. (1.0 điểm)
P= > 0
 < 0 và ( vì - 0)
 < 1 và 
x < 1 và 
Kết hợp với điều kiện bài toán suy ra thì P > 0
0.25
0.25
0.25
0.25
3. (1.0 điểm)
P= = 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy GTLN của P = 
0.25
0.5
0.25
Câu 3
(5.0 điểm)
1. a.(1.0 điểm)
 (vì hai vế đều dương)
0.5
0.5
1.b (2.0 điểm)
; ĐKXĐ: 
 (TMĐKXĐ)
Vậy nghiệm của phương trình là x= 6
0.25
0.25
0.25
0.75
0.25
0.25
2.(2.0 điểm)
Xét Q= n5 – n= n(n2 - 1)(n2 +1)
= (n - 1)n(n +1) (n2 – 4 + 5)
= (n - 1)n(n +1) (n2 – 4) + 5 (n - 1)n(n +1) 
=(n - 2) (n - 1)n(n +1) (n +2 ) + 5 (n - 1)n(n +1)
Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 nên 
5 (n - 1)n(n +1) 
Vì tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5 và 2 mà (2,5)=1 nên (n - 2) (n - 1)n(n +1) (n +2 ) 
Vậy Q , hay n5 và n có chữ số tận cùng giống nhau, 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 4
(6.5 điểm)
d
B
M
M
M
M
M
M
M
M
A
K
O
 ô
C
0.25
1.(1.25 điểm)
Ta có OB= OC= R
 MB= MC ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra OM là đường trung trực của BC
Hay OM vuông góc với BC
0.25
0.25
0.5
0.25
2.(3.0 điểm)
Chứng minh được hai tam giác OHK và OAM đồng dạng (g.g)
Suy ra OH.OM= OA.OK (1)
Tam giác OBM vuông tại B ( Tính chất tiếp tuyến)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OBM ta có
OB2= R2= OH.OM (2)
Từ (1),(2) suy ra OH.OM= OA.OK =R2 (3)
 Từ (3) ta có OK= R2/ OA, mà R2 và OA có độ dài không đổi, O và A cố định
Do đó K là điểm cố định
Vậy BC luôn đi qua điểm K cố định
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
0.25
0.25
3.(2.0 điểm)
M
H
S
E
O
D
A
Đặt MO= a, AO=b, AM=c và SH= x; SD= y; SE= z
Suy ra 2.SABC= ax+ by+ cz
 2.SABC = (ax+ by+ cz)
= a2+ b2+ c2 + 
 GTNN của là , đạt được khi SH=SD=SE
Vậy S là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAO
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 5
(2.0 điểm)
1.(0.75 điểm)
Đặt n2+ 18n+ 2020 = k2 ( )
 (n+ 9)2 + 1939 = k2 k2- (n+ 9)2 = 1939 
(k+ n+ 9)(k- n- 9) = 1939
Vi (k+ n+ 9)> 0 nên (k- n- 9)> 0 và (k+ n+ 9)> (k- n- 9) nên 
(k+ n+ 9) và (k- n- 9) là các ước tự nhiên của 1939 = 1.7.277, do đó
Vậy n= 126 , n= 960 là giá trị cần tìm
0.25
0.5
0.25
2.(1.0 điểm)
ĐKXĐ : 
Ta có : (1) dấu « = » xảy ra khi a= b
Áp dụng (1) 
dấu « = » xảy ra khi hoặc x= -1
Mặt khác dấu « = » xảy ra khi y= 
 Vậy hoặc 
0.25
0.5
0.25
Lưu ý: 
Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa tương ứng.
Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không chấm điểm bài hình.