Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT huyện Nho Quan (Có đáp án)

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN - Lớp 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang).
Câu I (4,5 điểm).
 Cho hai biểu thức và , với 
 1. Tính giá trị của biểu thức khi 
2. Rút gọn biểu thức . 
 3. Tìm giá trị của để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu II (4,5 điểm). 
 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba đường thẳng ,  , 
  (là tham số).
 a) Tìm giá trị của để đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
 b) Tìm giá trị của để đường thẳng cắt đường thẳng tại một điểm nằm trên trục hoành.
 c) Chứng minh rằng khi thay đổi, các đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.
 2. Giải phương trình sau: 
Câu III (3,5 điểm).
 1. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 
 2. Cho các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện và . Tìm .
 3. Cho là hai số không âm thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức: 
Câu IV (6,0 điểm).
 Cho đường tròn và đường thẳng cố định, không có điểm chung với đường tròn. Gọi là điểm thuộc đường thẳng . Qua kẻ hai tiếp tuyến tới đường tròn ( là các tiếp điểm). Từ kẻ vuông góc với đường thẳng ( ). Nối với , cắt tại và cắt tại . Tia cắt tại .
 a) Chứng minh rằng năm điểm cùng thuộc một đường tròn. 
 b) Chứng minh rằng .
 c) Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
 d) Tìm vị trí của trên đường thẳng để diện tích tam giác đạt giá trị lớn nhất.
Câu V (1,5 điểm). 
 Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng:
.............................................................. HẾT ........................................................
UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HDC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
 HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016
 Môn thi: TOÁN - Lớp 9 
(HDC gồm 04 trang).
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
Câu I
1
(1,0)
 = 
= 
0,5
Với 
0,5
2
 (1,5đ)
với ta có 
0,5
= 
0,5
=
0,5
3
(2,0đ)
Với thì được xác định.
 0,25
0,5
Áp dụng BĐT AM-GM ta có .
0,5
Đẳng thức xảy ra khi 
0,5
Vậy Min 
0,25
II
1
a) đi qua gốc tọa độ thì và 
0,5
b) Ta thấy và luôn cắt nhau
0,25
Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm 
0,25
Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm 
0,25
Để hai đường thẳng , cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì tức là 
 0,5
Vậy 
0,25
2
Giả sử là một điểm cố định mà mọi đường thẳng đã cho luôn đi qua thì phương trình (1) luôn đúng với mọi 
Ta có 
0,5
ĐK để phương trình này luôn đúng với mọi là 
0,5
0,25
Thay tọa độ điểm vào ta thấy luôn đúng với mọi .
Vậy điểm cố định cần tìm là 
0,25
ĐK 
0,25
PT 
0,25
0,25
 (TMĐK)
0,25
III
1
Với mọi nguyên thì nên là số chẵn 
0,25
+) Nếu chẵn thì là số chẵn nên 2013 là số chẵn 
 là số chẵn
0,25
mà 2015 là số lẻ nên PTVN
0,25
+) Nếu lẻ thì là số lẻ, Đặt 
= chia cho 4 dư 1 nên chia cho 4 dư 1, mà 2015 chia cho 4 dư 3.
0,5
Vậy không có số nguyên nào thỏa mãn ycbt
0,25
2
Từ 
0,25
0,25
Khi đó 
0,5
Vậy 
0,25
3
Từ 
0,25
0,25
0,25
Với 
0,25
IV
6,0 điểm
0,25
a) là tiếp tuyến của đường tròn 
 đường tròn đường kính 
0,25
Tương tự ta có đường tròn đường kính 
0,25
(gt) đường tròn đường kính 
0,25
Vậy 5 điểm cùng thuộc đường tròn đường kính 
0,25
b) Ta có ( theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) 
 trung trực của (1)
0,5
 trung trực của (2)
0,5
Từ (1) và (2) là trung trực của tại 
0,5
Xét và 
Có , chung
1,0
c) Ta có là tia phân giác của (theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) (3)
0,25
Lại có (vì cân tại )
0,25
mà 
 là tia phân giác của (4)
0,25
Từ (3) và (4) suy ra là tâm đường tròn nội tiếp 
0,25
d) vuông tại , có 
0,25
Theo chứng minh trên 
 .
 không đổi cố định không đổi 
0,25
Gọi là đường cao của , là trung điểm của 
Ta có lớn nhất lớn nhất
0,25
Lại có vuông cân vuông cân 
0,25
Vậy diện tích tam giác có giá trị lớn nhất khi 
0,25
CâuV
1,5
điểm
Vì là các số thực dương nên Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
0,25
 (1)
0,25
 Mặt khác 
0,5
 (2)
0,25
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
0,25
Chú ý: 
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.
3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.