Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT huyện Nho Quan (Có đáp án)

UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI 
Năm học 2013 – 2014
MÔN: TOÁN 7
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
Câu 1. (4,5 điểm)
1) Rút gọn: .
2) Tìm biết, .
3) So sánh : (-32)27 và (-18)39
Câu 2. (4,5 điểm)
1) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, và tổng a+b+c 0 thoả mãn điều kiện: . Hãy tính giá trị của biểu thức .
2) Đồ thị hàm số y = f(x)= ax đi qua điểm A(2;4)
a) Xác định hệ số a
b) Tìm x, sao cho f(x) - x2= 0
c) Biết B(x0; y0) là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Hãy tính giá trị biểu thức 
K= 1007.(4 x0 + 2) : (y0 + 1)
Câu 3. (3,0 điểm. 1) Tìm số nguyên n để biểu thức P = có giá trị lớn nhất. 
 2) Cho là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm biết, và đều là các số chính phương.
Câu 4. (6,0 điểm. Cho =600 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M . 
 1 ) Chứng minh K là trung điểm của AC.
 2 ) Chứng minh KMC là tam giác đều.
 3)	Cho BK = 2cm. Tính các cạnh của AKM.
Câu 5. (2,0 điểm). 1) Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên và a0. Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) luôn chia hết cho 23. Chứng minh rằng các số a, b, c đều chia hết cho 23.
 2) Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn : x2 - 2y2 =1.
--------------Hết----------------
UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI 
Môn: Toán 7
Năm học 2013 - 2014
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4,5 điểm)
1) (1,5 điểm)
Vậy 
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2 ) (1,5điểm)
 Ta có 
Vậy là kết quả cần tìm
3 ) (1,5điểm)
 3227 = = 2135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839 
 -3227 > -1839(-32)27 > (-18)39 
0.75đ
0.25đ
0.5đ
0.75đ
0.75đ
Câu 2
(4.5điểm)
1) (2.0 điểm)
Vì a+b+c 0
 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:
= = 1
mà = 2
=> =2
=> B ==2.2.2= 8
Vậy B= 8
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2) (2.5 điểm)
a) a= 2
b) Hàm số được cho bởi công thức y = 2x 
Từ f(x) - x2= 0 2x- x2= 0x(2- x)= 0x= 0 hoặc x= 2
Vậy x= 0 hoặc x= 2
c) Vì B(x0; y0) là một điểm thuộc đồ thị hàm số nên y0 = 2 x0
 Suy ra K= 1007(4 x0 + 2): (y0 + 1) = 2.1007.(2 x0 + 1): (2 x0 + 1) 
 = 2014(2 x0 + 1): ( 2x0 + 1) = 2	014
0.5đ
0.25đ
0.75đ
0.5đ
0.5đ
Câu 3
(3 điểm)
1) (1,5 điểm)
P = 1+ 
Khi n< 7 thì P<1
Khi n= 7 thì P không xác định
Khi n> 7 thì P> 1. Do đó ta cần tìm max của P khi n> 7
P max đạt max n – 7 đạt min
Vì n nguyên và n> 7 nên n= 8
Vậy P max = 10 n= 8
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
2) (1,5 điểm)
+ Vì là số có hai chữ số nên 
+ Mặt khác là số chính phương chẵn nên có thể nhận
 các giá trị: 36; 64; 100; 144; 196.
+ Với không là số chính phương
 là số chính phương
 không là số chính phương
 không là số chính phương
 không là số chính phương
Vậy số cần tìm là .
Câu 4
(6 điểm)
V ẽ hình , GT _ KL 
1) (1,75 điểm)
ABC cân tại B do góc CAB= góc ACB (= góc MAC) và BK là đường cao BK là đường trung tuyến
 K là trung điểm của AC 
2) ( 2,5điểm)
 ABH = BAK ( cạnh huyền - góc nhọn )
 BH = AK ( hai cạnh tương ứng ) mà AK = AC
 BH = AC
 Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC 
 CM = CK MKC là tam giác cân ( 1 )
Mặt khác : góc MCB = 900 và góc ACB = 300
 góc MCK = 600 (2)
Từ (1) và (2) MKC là tam giác đều
3) (1,5 điểm)
Vì ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm
( có thể chứng minh các tam giác cân)
Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có:
 AK = 
Mà KC = AC => KC = AK = 
KCM đều => KC = KM = 
Theo phần b) AB = BC = 4
 AH = BK = 2
 HM = BC ( HBCM là hình chữ nhật)
=> AM = AH + HM = 6 
Vậy các cạnh của tam giác AKM là : AM = 6 cm; AK =MK=cm
0.25đ
1.0đ
0.75đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Câu 5
(2,0điểm)
1) (1,0 điểm)
Từ giả thiết suy ra f(0) = c chia hết cho 23	(0,25đ)
f(1) và f(-1) chia hết cho 23 , tức là a+b+c và a-b+c chia hết cho 23
Suy ra 2a + 2c= 2(a + c) chia hết cho 23, mà c chia hết cho 23 nên a chia hết cho 23 ( do (2;23) = 1)
Vì a+b+c chia hết cho 23, suy ra b chia hết cho 23
Vậy a,b,c đều chia hết cho 23	(0,25đ)
2) (1,0 điểm)
 Từ : x2-2y2=1 suy ra x2-1=2y2
Nếu x chia hết cho 3 và x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2 ( thỏa mãn) 
Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 () do đó 2y2 chia hết cho 3 Mà (2;3)=1, nên y chia chia hết cho 3 khi đó, y= 3 suy ra x2=19 (không tìm được x nguyên tố)
Vậy cặp số (x,y) duy nhất thỏa mãn là (2;3)
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Lưu ý: 
 - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
 - Bài hình không có hình vẽ thì không chấm. 
 - Tổng điểm của bài thi không làm tròn.