Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT huyện Nho Quan (Có đáp án)

UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI 
Năm học: 2014-2015
MÔN THI: TOÁN 7
 Thời gian làm bài:120 phút
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
Câu 1: (5,0 điểm)
 1. Thực hiện các phép tính:
a) b) 
 2. Cho ; và . Tính A = 
Câu 2: (4,0 điểm)
 1. Tính giá trị của các biểu thức:
a) B = 9x2 – 10x + 1, biết rằng . 
b) C = x3 + xy3 – x3y + y3; tại x, y thỏa mãn: + (y + 1)4 = 0
 2. Tìm x biết: 
Câu 3: (3,5 điểm)
 1. Tìm các số a, b, c không âm, thỏa mãn đồng thời ba điều kiện: a + 3c = 2014; 
a + 2b = 2015; tổng ( a + b+c ) đạt giá trị lớn nhất.
 2. Trên bảng viết 99 số: 1, 2, 3, 4, ...,99. Cứ mỗi lần người ta xóa đi hai số bất kì , rồi lại viết giá trị của tổng hai số vừa xóa vào bảng. Cuối cùng trên bảng chỉ còn lại một số, giả sử đó là số k. Hãy tìm k và chứng tỏ k không phải là số chính phương.
Câu 4: (6,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có , phân giác AD . Kẻ DE vuông góc với AB tại E, DF vuông góc với AC tại F. Lấy điểm K trên cạnh AC sao cho AK = AD.
 1. Chứng minh rằng: và tam giác DEF là tam giác đều;
 2. Chứng minh rằng: K là trung điểm của AC, từ đó suy ra AD = AC;
 3. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt BA ở T. Đặt CT = a; CF = b. Chứng minh rằng: .
Câu 5: (1,0 điểm) Cho m, n, p là các số nguyên dương thỏa mãn: m2 = n2 + p2. Chứng minh rằng: tích m.n.p chia hết cho 15.
..................................... Hết .....................................
UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI 
Năm học: 2014-2015
MÔN THI: TOÁN 7
 Hướng dẫn chấm gồm 03 trang
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(5,0 điểm)
1.a ( 1,5 điểm)
 = 
0,75 
0,75 
1.b ( 1,5 điểm)
= 
= 
0,5 
0,5 
0,5 
2. ( 2,0 điểm)
; (1)
(1)
Từ ,suy ra 
Vậy A = = 490
0,5 
0,75 
0,75 
Câu 2
(4,0 điểm)
1.a ( 1,5 điểm)
Ta có hoặc x = - 1
Với x = 1 thì B = 9.12 – 10. 1 + 1 = 0
Với x = - 1 thì B = 9.(- 1)2 – 10.(-1) + 1 = 20
Vậy x = 1 thì B = 0
 x = - 1 thì B = 20
0,5 
0,75 
0,25 
1.b ( 1,5 điểm)
1) Do ≥ 0; (y + 1)4 ≥ 0 Þ + (y + 1)4 ≥ 0 với mọi x, y.
Kết hợp + (y + 1)4 = 0 suy ra = 0 và (y + 1)4 = 0
Û x = 1; y = - 1.
 Thay vào tính được giá trị của biểu thức C = 0
0,5 
0,75
0,25 
2. ( 1,0 điểm)
Nhận xét: Vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Do đó vế phải cũng luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
Suy ra 14x 0 hay x 0.
Với x 0 ta có: 
 ( TM)
Vậy 
0,25
0,25 
0,5 
Câu 3
(3,5 điểm)
1. ( 2,0 điểm)
Từ a + 3c = 2014 , a + 2b = 2015 suy ra 2a + 2b + 3c = 4029 Do đó 2( a + b + c ) + c = 4029
Để (a + b + c) đạt giá trị lớn nhất thì c phải có giá trị nhỏ nhất. Mà c ≥ 0 nên c = 0.
Khi đó a = 2014; b = ; c = 0 
GTLN của (a + b + c) là 
0,25
0,25 
0,75
0,75 
2. ( 1,5 điểm)
Nhận xét: Số k còn lại trên bảng chính là tổng của các số ban đầu:
Do đó số cuối cùng còn lại trên bảng có giá trị là 
k =
Số k = 4950 = 2.32.52.11, không phải là số chính phương.
0,5 
0,75 
0,25
Câu 4
(6,5 điểm)
T
A
E
F
K
.
C
B
D
Vẽ được hình ý 1) , ghi GT- KL: 0,5 điểm
1. ( 2,0 điểm)
Ta có ( Cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra DE = DF (1)
Vì AD là tia phân giác của góc A nên 
Từ đó suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra là tam giác đều.
0,75
0,25
0,75
0,25
2. ( 2,5 điểm)
 Ta có ( chứng minh trên) và AD= AK 
Do đó ADK là tam giác đều. 
Suy ra AK = DK (*)
 Lại có trong tam giác vuông ADC suy ra (3)
mà 
Suy ra (4)
 Từ (3), (4) suy ra tam giác KCD cân tại K
 KC = KD (**)
 Từ (*) và (**) suy ra AK = KC hay K là trung điểm của AC
Từ đó suy ra AD = AC
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
3. ( 1,5 điểm)
Chứng minh được là tam giác đều ( có hai góc 600)
Suy ra AC = CT = a
 AF = AC- CF = a- b
Tam giác vuông ADF có nên AD = 2(a- b) (5)
Lại có AD = AC= (6)
Từ (5) và (6), suy ra: a = 4(a - b) hay 
( Sử dụng kết quả của câu trên)
0,25
0,25
0,5
0,5
Câu 5
(1,0 điểm)
 Nếu m, n, p không chia hết cho 3 thì m2 , n2 , p2 chia 3 dư 1. Suy ra m2 = n2 + p2 ( vô lí). Do đó m, n, p phải có ít nhất một số chia hết cho 3, nên tích mnp chia hết cho 3.
 Nếu m, n, p không chia hết cho 5 thì m2 , n2 , p2 chia 5 dư 1 hoặc 4 .Suy ra n2 + p2 chia 5 dư 0, 2 hoặc 3, nên m2 = n2 + p2 ( vô lí). Do đó m, n, p phải có ít nhất một số chia hết cho 5, nên tích mnp chia hết cho 5.
 Mà (3;5) = 1. Vậy tích mnp luôn chia hết cho 15.
0,25
0,5
0,25
Lưu ý: 
 - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
 - Câu hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không chấm toàn câu. 
 - Tổng điểm của bài thi không làm tròn.