Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT huyện Nho Quan (Có đáp án)

UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI 
Năm học 2013 – 2014
MÔN: TOÁN 8
 (Thời gian làm bài 150 phút)
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
Câu 1 (4,5 điểm).
 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 a) .	 b) .
 2. Cho biểu thức , với và .
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tính giá trị của Q biết .
c) Tìm x để Q > 0.
Câu 2 (3,0 điểm).
 1. Chứng minh rằng số có dạng chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n.
2. Đa thức f(x) khi chia cho dư 4, khi chia cho dư . Tìm phần dư khi chia f(x) cho 
Câu 3 (4,0 điểm).
 1. Giải các phương trình sau: 
	a) .
	b) .
2. Giải phương trình nghiệm nguyên: .
Câu 4 (6,0 điểm). 
 Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh BC (M khác B và C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K.
1. Chứng minh KM vuông góc với DB.
2. Chứng minh rằng: KC.KD = KH.KB.
3. Ký hiệu lần lượt là diện tích các tam giác ABM và DCM. 
 a) Chứng minh tổng không đổi.
 b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a.
Câu 5 (2,5 điểm).
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 
2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: . 
 Đẳng thức xảy ra khi nào?
---------------Hết---------------
UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI 
Môn: Toán 8
Năm học 2013 - 2014
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(4,5điểm)
1. (2,0 điểm)
a) = = 
0,5
b) Ta có = 
0,5
= 
0,75
= 
0,25
2. (2,5 điểm)
a) Với ta có: 
0,5
0,75
b) 
0,25
Khi 
0,25
Khi 
0,25
c) Q > 0 
0,25
Kết hợp với ĐKXĐ ta có là giá trị cần tìm.
0,25
Câu 2
(3 điểm)
1. (1,5 điểm)
 = 
0,5
Vì là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 3. Do đó 
0,25
Vì là bốn số tự nhiên liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp, trong 2 số chẵn liên tiếp có 1 số chia hết cho 2, số kia chia hết cho 4.
Vậy 
0,5
Vì ƯCLN(3;8) =1 nên chia hết cho 24.
0,25
2. (1,5 điểm)
Ta có: f(x) chia dư 4 => f(-1) = 4.
0,25
Do bậc của đa thức chia là 3 nên đa thức dư có dạng . 
0,25
Theo định nghĩa phép chia còn dư, ta có : 	 
0,25
Mà f(x) chia cho dư Do đó, ta có:
0,5
Vậy đa thức dư cần tìm có dạng: 
0,25
Câu 3
(4,0 điểm)
Câu 4
(6,0 điểm)
1a) (1,0 điểm) 
PT 
0,25
0,25
(x – 2014)( ) = 0
0,25
x = 2014
0,25
1b) (1,5 điểm) 
Đặt x2- 4x = t. ĐK t - 4 
0,5
Khi đó ta có được phương trình: t2 + 2t - 35 = 0 (t + 7)(t – 5) = 0
0,25
 t = -7 (loại) hoặc t = 5
0,25
Với t = 5, khi đó x2 - 4x - 5 = 0 (x +1)(x – 5) = 0 x = 5 hoặc x = -1 
0,25
Vậy tập nghiệm phương trình là S = {-1; 5}
0,25
1c) (1,5 điểm) 
0,25
0,25
 hoặc 
0,5
 hoặc 
0,25
Vậy pt đã cho có nghiệm nguyên là (2014 ;-2014), (2012 ; -2014).
0,25
1. (1,0 điểm) 
Vì nên M là trực tâm do đó 
1,0
2. (1,5 điểm) 
Xét có chung và 
0,5
1,0
3a) (1,5 điểm) 
1,0
0,25
Vậy không đổi
0,25
3b) (2,0 điểm) 
Với hai số thực x , y bất kỳ ta có 
0,25
. 
0,25
Dấu bằng xảy ra khi x = y
0,25
Áp dụng ta có 
0,5
Đẳng thức xảy ra khi là trung điểm của BC
0,5
Vậy minKhi M là trung điểm của BC
0,25
Câu 5
(2,5điểm)
1. (1,0 điểm)
Ta có = 
0,25
0,25
Đẳng thức xảy ra khi 
0,25
Vậy Min P = 
0,25
2. (1,5 điểm)
0,25
Áp dụng bđt côsi ta có: 
0,25
0,5
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
0,5
Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.