Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán Lớp 6 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Nho Quan (Có đáp án)

 UBND HUYỆN NHO QUAN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018-2019
 MÔN THI: TOÁN 6
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài:120 phút
 Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
 Câu 1: (5.0 điểm)
 1. Thực hiện phép tính
 A 53.39 47.39 53.21 47.21 
 113113
 B 113113.114 114114.113 
 114114
 2. Cho các biểu thức:
 1 1 1 1 1 12 2 2 32 4 2 99 2
 C ... ; D . . . ...
 1.2 2.3 3.4 4.5 99.100 1.2 2.3 3.4 4.5 99.100
 Tính C và D. So sánh (C 1) 2 với D 2 .
 Câu 2: (4.0 điểm)
 1 x 1
 1. Tìm các số tự nhiên x biết: .
 5 30 4
 12
 2. Cho phân số . Biết rằng nếu cộng cả tử và mẫu của phân số đã cho với cùng một 
 17
 4
số tự nhiên n thì ta được phân số mới có giá trị bằng . Tìm số tự nhiên n .
 5
 2 y
 3. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện: . 
 2x 1 4
 Câu 3: (4.0 điểm)
 1. Cho E 5 5 2 53 5 4 ... 5100. Tìm số dư khi chia E cho 6.
 2. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì n(n 2)(n 7)3.
 3. Tìm số nguyên tố nhỏ hơn 200, biết rằng khi chia số đó cho 60 thì số dư là hợp số.
 Câu 4: (5.5 điểm) 
 1. Cho đoạn thẳng MN 10 cm . Lấy điểm P trên đoạn thẳng MN sao cho MP = 2 cm. 
 a) Tính độ dài đoạn thẳng PN.
 b) Lấy điểm Q bất kỳ trên đoạn thẳng PN ( Q không trùng với P và N). Gọi A và B lần 
lượt là trung điểm của các đoạn thẳng PQ và QN. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
 2. Cho x· Oy 600 . Vẽ ·yOz kề bù với x· Oy . Gọi Om là tia phân giác của ·yOz . Chứng 
tỏ rằng tia Oy là tia phân giác của x·Om .
 Câu 5: (1.5 điểm) 
 a(a 1)
 1. Cho a,b, c là các số tự nhiên khác 0. Chứng tỏ rằng phân số chưa tối 
 bc(b c)
giản.
 2. Tìm ba số tự nhiên khác nhau có tổng các nghịch đảo của chúng bằng 1.
 Hết UBND HUYỆN NHO QUAN HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2018- 2019
 MÔN THI: TOÁN 6
 Hướng dẫn chấm gồm 04 trang
 Câu Nội dung Điểm
 1. (2.25 điểm)
 A 39.(53 47) 21(53 47) 39.100 21.100 0.5
 39.100 21.100 100(39 21) 1800 0.75
 113.1001 113
 B 113.114.1001 113.114.1001 1.0
 114.1001 114
 Câu 1 2. ( 2.75 điểm)
(5.0 điểm)
 1 1 1 1 1 1 1 1 99
 C 1 ... 1 1.0
 2 2 3 3 4 99 100 100 100
 12 2 2 32 4 2 99 2 (1.2.3...99)(1.2.3...99) 1
 D . . . ... 1.0
 1.2 2.3 3.4 4.5 99.100 (1.2.3...99)(1.2.3...99.100) 100
 2 2 2
 2 1 1 1 2
 Ta có (C 1) 1 1 D 0.75
 100 100 100 
 1. (1.25 điểm)
 1 x 1 12 2x 15
 Từ 12 2x 15 0.75
 5 30 4 60 60 60
 Suy ra 2 x 14 x 7 . Vậy x = 7. 0.5
 2. (1.25 điểm)
 Theo đề bài ta có
 Câu 2
 12 n 4 0.75
(4.0 điểm) 5(12 n) 4(17 n) 60 5n 68 4n
 17 n 5
 5n 4n 68 60 n 8 0.5
 3. (1.5 điểm)
 2 y
 y(2x 1) 8 0.25
 2x 1 4
 Do 2 x 1 là số lẻ nên 2 x 1 1;1 0.5 TH1: Nếu 2x 1 1; y 8 x 1; y 8 0.25
 TH2: Nếu 2x 1 1; y 8 x 0; y 8 0.25
 Vậy (x; y) ( 1; 8); (0;8) 0.25
 1. (2.0 điểm)
 E 5.(1 5) 53 (1 5) 55 (1 5) ... 599 (1 5). 0.5
 E 6.5 6.5 2 6.5 4 ... 6.599. 0.5
 E 6.5 6.5 2 6.5 4 ... 6.599 6 0.75
 Do đó E chia hết cho 6. 0.25
 2. (1.0 điểm)
 Xét các trường hợp n 3k; n 3k 1; n 3k 2; k N
 0.25
 Nếu n 3k n3 n(n 2)(n 7)3
 Câu 3 Nếu n 3k 1 n 2 3k 33 n(n 2)(n 7)3 0.25
(4.0 điểm)
 Nếu n 3k 2 n 7 3k 93 n(n 2)(n 7)3 0.25
 Vậy mọi số tự nhiên n thì n(n 2)(n 7)3. 0.25
 3. (1.0 điểm)
 Gọi p là số nguyên tố cần tìm. Ta có
 0.25
 p 60k r 2 2.3.5.k r; k, r N ; 0 r 60 và r là hợp số.
 Do p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2, 3, 5. 0.25
 Chọn các hợp số nhỏ hơn 60, loại đi các số chia hết cho 2,3,5 ta được r = 49 0.25
 Suy ra p = 60k + 49. Do p < 200 nên p = 109 hoặc p = 169
 0.25
 p = 169 = 132 ( loại). Vậy p = 109.
 Câu 4
 M P A Q B N
 0.25
(5.5 điểm)
 1. a. ( 1.0 điểm)
 Vì P thuộc đoạn thẳng MN nên P nằm giữa M và N
 0.5
 Suy ra MP + PN = MN
 Hay 2 + PN = 10 PN = 8 cm. 0.5 1. b. ( 2.0 điểm)
 1
 Do A là trung điểm của PQ nên AQ PQ (1) 0.25
 2
 1
 Do B là trung điểm của NQ nên BQ QN (2) 0.25
 2
 Ta có PA PQ PB và các điểm A, Q, B nằm cùng phía đối với điểm P 
 0.25
 nên Q nằm giữa A và B.
 Suy ra AQ + QB = AB, kết hợp với (1) và (2) ta có 0.5
 1 1 1 1 1
 AB AQ QB PQ QN (PQ QN ) PN .8 4 cm. 0.75
 2 2 2 2 2
 m y 
 0.25
 600
 z O x
 2. ( 2.0 điểm)
 Do x· Oy và ·yOz là hai góc kề bù nên
 0.5
 x· Oy ·yOz 1800 ·yOz 1800 x· Oy 1800 600 1200
 1 1
 Vì Om là tia phân giác của ·yOz nên m· Oz m· Oy ·yOz .1200 600 0.5
 2 2
 Tính được x·Om 1800 m· Oz 1800 600 1200 x· Oy x·Om
 0.5
 Suy ra tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Om (3)
 Mà x· Oy ·yOm 600 (4) 0.25
 Từ (3), (4) suy ra tia Oy là tia phân giác của x·Om . 0.25
 1. ( 0.75 điểm)
 Câu 5 Vì a và a +1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2
 0.25
(1.5 điểm) a(a 1)2 (1)
 Mặt khác: 0.25 Trong hai số b , c nếu có một số chẵn thì bc(b c)2
 Hai số b , c cùng lẻ thì bc(b c)2
 Do vậy bc(b c)2 với mọi số tự nhiên b, c khác 0. (2)
 a(a 1)
 Từ (1) và (2) suy ra phân số chưa tối giản. 0.25
 bc(b c)
 2. ( 0.75 điểm)
 Gọi a, b ,c là ba số tự nhiên cần tìm. Giả sử 1 a b c
 1 1 1
 1 (1). 
 a b c
 1 1 1 1 1 1 0.25
 Vì nên a 3 . Mà 1 a 1
 a b c a 3 a
 1 1 1
 Vậy a 2 . Thay vào (1) ta được (2)
 b c 2
 Lại tìm khoảng giá trị của b ta được 2< b < 4. Suy ra b = 3. Thay vào (2) ta 
 1 1 1 0.5
 có c = 6. Vậy 1
 2 3 6
Lưu ý: 
 - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
 - Câu 4, nếu không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không chấm toàn câu. 
 - Tổng điểm của bài thi không làm tròn.