Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Nho Quan (Có đáp án)

 UBND HUYỆN NHO QUAN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2018 – 2019
 MÔN: TOÁN 7
 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 120 phút)
 Đề thi gồm 05 bài, trong 01 trang
 Bài 1. (5 điểm): 
 1. Thực hiện các phép tính sau: 
 2 2
 7 8 7 3 12 1 1 1 
 a)   b) 6. 3. 1 : 1 
 19 11 19 11 19 3 3 3 
 1 1 1 1 1 1 1
 2. Cho biểu thức A ...  Chứng tỏ rằng A .
 3 32 33 34 35 3100 4
 1
 3. Tính giá trị của biểu thức: A = 2x2 – 3x + 5 với x 
 2
 Bài 2. (4 điểm): 
 2018 2019
 1. Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn: 24x 4y x2 4 0
 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2017 2018 x x 2019
 Bài 3. (3,5 điểm): 
 1. Cho hàm số f (x) xác định với mọi x ¡ , x 0 . Biết rằng với mọi x 0 , ta đều 
 1 2
có f (x) 3 f ( ) x . Tính f (2) .
 x
 3x 2y 2z 4x 4y 3z x y z
 2. Cho . Chứng minh rằng: 
 4 3 2 2 3 4
 3. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2x2 y 6x2 y 9
 Bài 4. (6 điểm): 
 Cho tam giác ABC cân tại A, (Â BC ). D là trung điểm của AC. Trên 
 đoạn thẳng BD lấy điểm E sao cho D·AE ·ABD . Từ A kẻ AG  BD (G tia BD ); 
 từ C kẻ CK  BD (K BD).
 1. Chứng minh rằng AK = CG.
 2. Từ C kẻ CH  AE (H tia AE). Chứng minh rằng: CE là phân giác của H·CK .
 3. Chứng minh rằng D·AE E·CB .
 Bài 5. (1,5 điểm): 
 Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,35 điểm. 
Kết quả cụ thể về điểm và số lần bắn được ghi trong bảng dưới đây, trong đó có ba ô bị mờ 
ở chữ số hàng đơn vị không đọc được (tại các vị trí được đánh dấu *).
Điểm số mỗi lần bắn 10 9 8 7 6 5
Số lần bắn 2* 40 1* 1* 9 7
 Hãy tìm lại chữ số hàng đơn vị trong ba ô đó?
 --------------------Hết---------------------
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
 Họ và tên thí sinh: ............................................ Số báo danh:.........................
 Giám thị 1 (Họ tên và ký).......................................................
 Giám thị 2 (Họ tên và ký)....................................................... UBND HUYỆN NHO QUAN HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI 
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn: Toán 7
 Năm học 2019 - 2020
 Bài1 Đáp án Điểm
 7 8 7 3 12 7 8 7 3 12 7 8 3 12 7 12
 1a)   = (   ) ( ) 1 0,75
 19 11 19 11 19 19 11 19 11 19 19 11 11 19 19 19
 2 2 2
 1 1 1 1 4 
 1b) 6. 3. 1 : 1 = 6. 1 1 : 0,25
 3 3 3 9 3 
 2 16 8 9 3
 = 2 : = . 0,5
 3 9 3 16 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 A ... 3A 1 ... 
 2. 3 32 33 34 35 3100 3 32 33 34 399 0,25
 1
 A 3A 1 100 0,5
 3 
 1 1 1 
 (5.0 A 1 100 0,25
 4 3
điểm) 
 1 1 1 1 1 1 1
 A 0 A 1 100 1 100 100 0,5
 4 3 4 3 4 4.3 4
 1 1 1
 3. Vì x nên x = hoặc x = - 0,5
 2 2 2
 1 1 1
 * Với x = thì A = 2.( )2 – 3. + 5 = 4 
 2 2 2 0,5
 1 1 1
 * Với x = - thì A = 2.(- )2 – 3.(- ) + 5 = 7 0,5
 2 2 2
 1 1
 Vậy A = 4 với x = và A = 7 với x = - .
 2 2 0,5
 Bài 2
 Ta có: (24x – 4y )2018 0 với x, y .
 2 2019 0,5
 và x 4 0 với x .
 2018 2 2019
 nên 24x 4y x 4 0 x, y (1) 0,25
 2.1 
 (2.0 
 2018 2019
điểm) Mà theo đề bài: 24x 4y x2 4 0 (2)
 0,25
 2018 2 2019
 Từ (1) và (2) 24x 4y x 4 0
 (24x – 4y )2018 = 0 và x2 - 4 = 0 (24x – 4y ) = 0 và x 2 0,25 x = 2 y = 12 ; x = - 2 và y = - 12. 0,5
 Vậy các cặp (x;y) cần tìm là (2;12); (-2; -12) 0,25
 P = x 2017 2018 x x 2019 = ( x 2017 2019 x ) 2018 x 0,25
 Ta có x 2017 2019 x x 2017 2019 x 2 với mọi x. Dấu “=” xảy ra khi: 
 2.2 0,5
 (2.0 2017 x 2019 (1)
điểm)
 Lại có: 2018 x 0 với mọi x. Dấu “=” xảy ra khi x = 2018 (2). 0,5
 Từ (1) và (2) Ta có P 2, Đẳng thức xảy ra khi x = 2018 0,5
 Vậy giá trị NN của P là 2 khi x = 2018. 0,25
Bài 3
 1 2 1 2
 Ta có: f (x) 3 f ( ) x nên f (2) 3 f ( ) 2 4 . (1) 0,25
 x 2
 2
 1 1 1 1 3
 1 và f ( ) 3 f (2) 9 f (2) 3 f ( ) (2) 0,25
 (1.0 2 2 4 2 4
điểm) 13 13
 Từ (1) và (2) ta có 8 f (2) f (2) 0,25
 4 32
 13
 Vậy f (2) . 0,25
 32
 3x 2y 2z 4x 4y 3z 4(3x 2y) 3(2z 4x) 2(4y 3z)
 Ta có: 0,25
 4 3 2 16 9 4
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 4(3x 2y) 3(2z 4x) 2(4y 3z) 4(3x 2y) 3(2z 4x) 2(4y 3z)
 0 0,25
 2 16 9 4 16 9 4
 (1.0 
 4(3x 2y) x y
điểm) => 0 3x 2y (1)
 16 2 3 0,25
 3(2z 4x) x z
 và 0 2z 4x (2)
 9 2 4
 x y z
 Từ (1) và (2) suy ra 0,25
 2 3 4
 2x2 y 6x2 y 9 2x2 y 6x2 y 3 6 2x2 (y 3) (y 3) 6
 0,25
 (2x2 1)(y 3) 6 (1)
 2
 Vì 2x 1 1 0 với mọi x nên từ (1) ta có y 3 0 y 3 0,5
 Mà 2x2 1là số lẻ nên từ (1) ta có
 2x2 1 1 2x2 0 x 0
 1,5 *) ta được (0;9) 0,25
 y 3 6 y 9 y 9
 2x2 1 3 2x2 2 x 1
 *) ta được (1;5),( 1;5) 0,25
 y 3 2 y 5 y 5
 Vậy các cặp số nguyên (x; y) cần tìm là (0;9) , (1;5),( 1;5) 0,25 Bài 4
 0,5
 1 
 (2.5 *) Chứng minh ADG = CDK (cạnh huyền - góc nhọn) 0,75
điểm)
 DK = DG 2 cạnh tương ứng). 0,25
 *) Chứng minh VADK VCDG (c.g.c) 0,75
 AK = CG (hai cạnh tương ứng). 0,25
 *) Chứng minh ABG = CAH (cạnh huyền - góc nhọn) 0,5
 AG = CH (hai cạnh tương ứng). (1)
 *) Từ ADG = CDK (chứng minh trên) 
 AG = CK (2 cạnh tương ứng) (2) 0,75
2 (2.5 Từ (1) và (2) CH = CK. 
điểm)
 *) Chứng minh VHEC VKEC (cạnh huyền - cạnh góc vuông) 0,75
 H·CE K·CE (hai góc tương ứng). 0,25
 Mà CE nằm giữa CH, CK nên CE là phân giác của H·CK . 0,25
 Từ VHEC VKEC (chứng minh trên)
 C·EH C·EK (hai góc tương ứng) (3)
 0,25
 C·EH là góc ngoài CEA tại đỉnh E nên: C·EH =C·AE E·CA (4)
 C·EK là góc ngoài CEB tại đỉnh E nên: C·EK = C·BE E·CB (5)
 Từ (3), (4), (5) C·BE E·CB =C·AE E·CA (6)
 · · 0,25
3 (1.0 Mặt khác, do ABC cân tại A (gt) nên ABC ACB
điểm)
 C·BE A·BE E·CB E·CA (7)
 Lấy (6) trừ (7) theo từng vế ta được: E·CB A·BE C·AE E·CB 
 0,25
 2. E·CB A·BE C·AE 
 Mà C·AE A·BE (gt) nên 2.E·CB 2.C·AE E·CB C·AE
 0,25
 hay E·CB D·AE ( đpcm). Bài 5
 Gọi số lần bắn ứng với 10 điểm là 2a
 Gọi số lần bắn ứng với 8 điểm là 1b 0,25
 Gọi số lần bắn ứng với 7 điểm là 1c
 a,b,c ¥ ,0 a,b,c 9
 10.2a 9.40 8.1b 7.1c 6.9 5.7
 Theo bài ra ta có 8,35
 100 0,25
 10.2a 8.1b 7.1c 386 10a 8b 7c 36 (1)
(1.5đ)
 Từ (1) c2 c 0;2;4;6;8, c không thể bằng 6 hoặc 8 vì nếu thế tổng 
 0,25
 số lần bắn sẽ vượt quá 100 c 0;2;4
 c 0 10a 8b 36 5a 4b 18 a b 2(TM ) 0,25
 c 2 10a 8b 22 5a 4b 11 Không a,b 0,25
 c 4 10a 8b 8 5a 4b 4 Không a,b
 Thử lại a b 2(TM ) . Vậy a b 2 , c = 0 là các chữ số cần tìm. 0,25
 =================Hết===============