Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Nho Quan (Có đáp án)

 UBND HUYỆN NHO QUAN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG 
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 
 Môn thi: TOÁN - Lớp 9 
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
 (Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang).
Câu 1 (4,5 điểm).
 7 4 3
 1. Rút gọn biểu thức sau: A ( 5 2)( 5 2) .
 3 2
 2
 a 1 a a 1 a a a a 1
 2. Cho biểu thức: P với a 0, a 1.
 a a a a a a
 a) Rút gọn biểu thức P . 
 b) Chứng minh rằng P 4. 
 6
 c) Với những giá trị nào của a thì biểu thức Q nhận giá trị nguyên?
 P
Câu 2 ( 5,0 điểm).
 :
 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng d1 : y 0,5x 3, d2 y 7 x , 
 :
 d3 y mx ( m là tham số).
 a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d1và đường thẳng d2 bằng phép toán.
 b) Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng d3 cắt hai đường thẳng d1và d2 lần 
 lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?
 2
 2. Giải phương trình sau: x 4 x 4 2( x 16 x 6)
 3. Cho biểu thức T sin6 x cos6x 3sin2 x.cos2x tan2 x.cos2x cotan2 x.sin2 x
 o
 ( 0 x 90 ). Chứng minh rằng giá trị biểu thức T không phụ thuộc vào giá trị của biến x . 
Câu 3 (2,5 điểm).
 Cho a,b là các số dương thỏa mãn điều kiện a b 1. Chứng minh rằng:
 2 37
 B a3 b3 8(a4 b4 ) . Đẳng thức xảy ra khi nào? 
 ab 4
Câu 4 (6,0 điểm). 
 Cho đường tròn tâm O cố định, bán kính R 1. Tam giác ABC thay đổi và luôn ngoại tiếp 
 đường tròn (O) , các cạnh AB và AC tiếp xúc với đường tròn (O) lần lượt tại H và K . Một 
 đường thẳng đi qua tâm O cắt các đoạn thẳng AB, AC lần lượt tại M và N .
 a) Chứng minh các điểm A, H ,O, K cùng thuộc một đường tròn.
 b) Chứng minh HK.AO 2AK.OH .
 c) Xác định giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN .
Câu 5 (2,0 điểm). 
 Em hãy trình bày lời giải bài toán sau bằng hai phương pháp khác nhau:
 Tìm các cặp số nguyên tố (x, y) thỏa mãn phương trình: x2 2y2 1.
 .Hết .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. UBND HUYỆN NHO QUAN HDC ĐỀ THI 
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
 Năm học 2016 - 2017
 MÔN: TOÁN
 Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang
 I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
 - Thí sinh làm bài theo cách khác đáp án, nếu đúng thì cho điểm tương đương.
 - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm. 
 Bài hình nếu hình vẽ không khớp với CM, hoặc không vẽ hình thì không chấm.
 - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.
 II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
 Câu Nội dung Điểm
Câu 1 (4,5đ)
 2 (2 3)2
 A 5 4 0,5
 1 3 2
 (1,0điểm)
 2 3 2 3
 5 4 1 1 ( 1) 2 0,5
 3 2 3 2
 a a 1 ( a 1)(a a 1) a a 1
 a) Do a > 0, a 1 nên: 0,5
 a a a ( a 1) a
 a 2 a a a 1 (a 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a 1) a a 1
 0,5
 2a a a a a (1 a) a (1 a) a
 (2,5điểm)
 a 1 
 P 2
 a 0,5
 2 2 a
 b) Do a 0; a 1 nên: ( a 1) 0 a 1 2 a P 2 4 1,0
 a
 6 3
 Ta có Q luôn XĐ, 0 Q do đó nguyên nên Q = 1
 P 2 0,25
 6 a 2
 2b Với Q = 1 ta có 1 a 4 a 1 0 ( a 2) 3 0,5
 (1,0 điểm) a 1 2 a
 a 2 3 hoac a 2 3 a 7 4 3 hoặc a 7 4 3 (TMĐK)
 Vậy, Q nguyên a 7 4 3
 0,25
Câu 2 (5,0đ) 
 0,25
 a) Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và d2 là: 0,5x 3 7 x
 1 3 8
 x 3 7 x x 4 3x 8 x 0,25
 2 2 3
 8 8 13 0,25
 Với x y 7 
 3 3 3 8 13 0,25
 Vậy tọa độ giao điểm của d và d là ( ; ) 
 1 2 3 3
 b.
 0,25
 Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và d3 là:
 0,5
 0,5x 3 mx (m 0,5)x 3 
 Điều kiện để phương trình này có nghiệm âm là m 0,5 0 m 0,5 
 Phương trình hoành độ giao điểm của d2 và d3 là:
 0,5
 7 x mx (m 1)x 7
 Điều kện để phương trình này có nghiệm dương là m 1 0 m 1
 Vậy điều kiện cần tìm là: 1 m 0,5 0,5
 2. Điều kiện x 4 0,25
 Đặt x 4 a, x 4 b (a > 0, b 0) 
 0,25
 a 2 b 2 2x
 Ta có a + b = 2ab + a2 + b2 - 12 
 a b 2 a b 12 0 a b 4 a b 3 0 0,25
 a + b - 4 = 0 (vì a > 0, b 0 nên a + b + 3 > 0) 0,25
 Với a b 4 0 ta có x 4 x 4 4 0 x 4 4 x 4, (4 x 12) 0,25
 x 4 16 8 x 4 x 4 x 4 1 x 5(TM ) 0,25
 T sin6 x cos6x 3sin2 x.cos2 x tan2 x.cos2 x cotan2 x.sin2 x
 sin2 x cos2 x 0,5
 sin6 x cos6x 3sin2 x.cos2 x(sin2 x cos2 x) .cos2 x .sin2 x
 cos2 x sin2 x
 3
 sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x 1 1 2 
 0,5
 Vậy giá trị của T = 2 nên không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
Câu 3 (2,5đ)
 Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương a,b ta có :
 1 1 0,5
 a b 2 ab 1 2 ab ab 4 
 4 ab
 3 3 4 4 2 3 3 1 4 4 1 
 B a b 8(a b ) (a b ) 8(a b ) 0,5
 ab ab ab 
 1 1 1
 Ta có a3 b3 (a b)3 3ab(a b) 1 3ab 
 ab ab ab
 1 19 17
 = 16ab 19ab 1 8 1 (1). 0,5
 ab 4 4
 1
 Đẳng thức xảy ra khi a b 
 2
 (a b)2 (a2 b2 )2 (a b)4 1 
 Lại có a2 b2 a4 b4 
 2 8 8 8
 1
 8(a4 b4 ) =1 4 5 (2)
 ab 0,5 1
 Đẳng thức xảy ra khi a b 
 2
 17 37 0,25
 Từ (1) và (2) ta có B 5 
 4 4
 1
 Đẳng thức xảy ra khi a b 0,25
 2
Câu 4 ( 6,0đ)
 A
 I
 P
 H K 0,25
 M
 1a O N
 (1,5điểm)
 B
 C
 Ta có ·AHO 900 ( Tính chất của tiếp tuyến với một đườn tròn) H thuộc đường 
 tròn đường kính AO (1) 0,5
 ·AKO 900 K thuộc đường tròn đường kính AO (2) 0,5
 Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A, H,O, K cùng thuộc một đường tròn đường kính OA 0,25
 Gọi giao điểm của AO và HK là P ta có AH AK (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt 
 nhau) A trung trực của HK (2) 0,5
 OH OK( R) O trung trực của HK (3) 0,5
 1b KH
 Từ (3) và (4) OA là trung trực của HK KP  AO, KP HP 
 2 0,5
 (2,5 điểm) Áp dụng hệ thức lượng cho AKO vuông tại K đường cao KP ta có:
 KH KH 0,5
 KP.AO AK.AO  AO AK OH (vì OH OK, KP HP )
 2 2
 HK.AO 2AK.OH 0,5
 1c 1 1 AM AN
 Ta có S S S OH.AM OK.AN 
 (2,0 điểm) AMN OAM OAN 2 2 2 0,5
 (vì OH OK R 1)
 Vẽ MI  AC , I AC , Ta có MA MI 0,25
 AM AN
 Áp dụng BĐT Cô-si ta có AM.AN 
 2 0,5
 do đó SAMN AM.AN MI.AN
 2 0,5
 SAMN 2SAMN SAMN 2SAMN SAMN 2
 Đẳng thức xảy ra khi A  I MN  AO , B· AC 900
 Vậy GTNN của diện tích tam giác AMN là 2 (đvdt) 0,25 a) LG1
 x2 2y2 1 x2 1 2y2 (x 1)(x 1) 2y2 (x 1)(x 1)2 
 0,25
 nên trong 2 số phải có ít nhất 1 số chẵn. (1)
 Mà (x 1) (x 1) 2 nên (x 1);(x 1) có cùng tính chẵn lẻ (2)
 Từ (1) và (2) (x 1);(x 1) cùng chẵn (x 1)2 ; (x 1)2 0,25
 (x 1)(x 1)4
 2 2
 Câu 5 2y 4 y 2 y2 , vì y là số nguyên tố nên y = 2 0,25
(2,0 điểm) y = 2 x 3 là số nguyên tố.
 Vậy phương trình có các cặp nghiệm nguyên tố là (3 ;2) 0,25
 b) LG2
 2 2 2 2 2
 x 2y 1 x 2y 1 x là số lẻ x 2k 1,k ¥ 0,25
 (2k 1)2 2y2 1 2k 2 2k y2 y2 chẵn y chẵn 0,25
 y là số nguyên tố nên y = 2 0,25
 y 2 x 3. Vậy phương trình có các cặp nghiệm nguyên tố là (3 ;2) 0,25