Đề khảo sát HSG Toán 6 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Tân Sỏi (Có đáp án)

 PHÒNG GD & ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI 
 TRƯỜNG THCS TÂN SỎI Năm học 2023-2024 
 Môn: TOÁN 6 
 Thời gian làm bài: 150 phút 
 (Đề gồm 01 trang 5 câu) 
Câu 1. ( 3 điểm) 
a) Tính 44 .24.16 2 : 4 3 .8 3 
b) Cho tập hợp S 1;4;7;10;13;16;.... Hỏi số 2023 có là phần tử của S hay không? 
c) Chứng minh rằng: (ab ba) 9 ( ab ) 
Câu 2. (2 điểm) 
a) Tìm x biết: 3x 1 3 x 2 2.3 x 270 
b) Tìm số học sinh của trường THCS. Biết rằng số học sinh của trường đó nếu xếp 
thành 17 hàng thì dư 8 em, xếp thành 25 hàng thì dư 16 em và số học sinh nhỏ hơn 
800. 
Câu 3. (2 điểm) 
a) Cho B 3 32 3 3 ... 3 100 . Chứng minh rằng 2B 3 không là số chính phương 
b) Tìm các số nguyên x, y biết: 25 y2 8 x 2023 2 
Câu 4. (2 điểm) Người ta xếp bốn hình chữ nhật bằng nhau để được một hình vuông 
ABCD có diện tích 625cm2 và bên trong là một hình vuông MNPQ . Biết hình chữ 
 3
nhật có chiều dài bằng chiều rộng (như hình vẽ). 
 2
 a) Tính chu vi hình vuông ABCD 
 b) Tính diện tích hình vuông MNPQ . 
Câu 5. (1 điểm) Tìm các số nguyên tố p,q và số nguyên x thỏa mãn
x5 px 3q 0 
 ------------------ Hết ------------------ HƯỚNG DẪN CHẤM 
 Câu Đáp án Điểm 
Câu 1 a) Tính 44 .24.16 2 : 4 3 .8 3 
 0,5 
 44 .24.16 2 : 4 3 .8 3 2 8 .3.2 3 .2 8 : 2 6 .2 9 
 3.219 : 2 15 0,25 
 3.24 48 0,25 
 b) Tập hợp S gồm các số tự nhiên chia 3 dư 1 0,25 
 Chứng minh được 2023 chia 3 dư 1 0,5 
 Vậy 2023 là phần tử của S 0,25 
 c) Chứng minh rằng: (ab ba) 9 ( ab ) 
 0,5 
 ab ba 10a b 10b a 
 9a 9b 9 0,5 
Câu 2 a) Tìm x biết: 3x 1 3 x 2 2.3 x 270 
 3x 1 3 x 2 2.3 x 270 0,5 
 3.3x 9.3 x 2.3 x 270 
 10.3x 270 0,25 
 3x 27 x 3 0,25 
 b) Gọi số học sinh trườ25ng A y 2là x 8 ( x x N 2023* ,x 2 800) 
 Theo bài ra: x chia hết cho 8 
 x chia 17 dư 8 => x + 9 chia hết cho 17 0,25 
 x chia 25 dư 16 => x+9 chia hết cho 25 
 => x + 9 thuộc BC(17,25) 
 Tính được BCNN(17, 25)=425 0,25 
 => x 9 B 425 0; 425; 850,.. 
 x 416; 841;.. 0,25 
 Mà x nhỏ hơn 800 0,25 
 => x = 416 
Câu 3 a) B 3 32 3 3 3 4 ... 3 100 0,25 
 3B 32 3 3 3 4 ... 3 101 
 3B B 32 3 3 3 4 ... 3 101 3 3 2 3 3 3 4 ... 3 100 0,25 
 2B 3101 3 2B 3 3 101 0,25 
 Vì 3101 là số nguyên tố với số mũ lẻ nên 2B 3 không là số 0,25 
 chính phương. 
 b) Tìm các số nguyên x, y biết: 
 0,25 
 Có 8 x 2023 2 0 với mọi x 25 y2 0 Theo đề bài => 25 y22 8 25 y 24;16;8;0 0,25 
 TH1: 25 y2 24 y 1 
 22 
 => 8 x 2023 24 x 2023 3 (loại) 
 TH2: 25 y2 16 y 3 
 8 x 2023 22 16 x 2023 2(loại) 0,5 
 TH3: 25 y22 8 y 17 (loại) 
 TH4: 25 y2 0 y 5 
 8 x 2023 22 0 x 2023 0 x 2023 
 Vậy x,y 2023;5 ; 2023; 5  
Câu 4 
 a) Độ dài cạnh của hình vuông ABCD là 25cm 0,5 
 => Chu vi hình vuông ABCD là 25.4=100cm 0,5 
 b) Vì tỉ lệ chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là 3/2 
 =>Gọi chiều dài mỗi hình chữ nhật là 3x (cm) 0,25 
 => chiều rộng là 2x (cm) 
 Theo hình vẽ ta có: chiều dài + chiều rộng = AB = 25 cm 
 => 3x + 2x = 25 => x = 5 0,25 
 => chiều dài = 15cm; chiều rộng = 10cm 
 Diện tích một hình chữ nhật là 15.10=150 cm2 
 => diện tích của 4 hình chữ nhật xung quanh là: 0,25 
 150.4=600cm2 
 Diện tích hình vuông MNPQ là: 625 – 600 = 25cm2 0,25 
Câu 5 Tìm các số nguyên tố và số nguyên thỏa mãn 
 Ta có x54 px 3q 0 x(x p) 3q . 
 Vì q là số nguyên tố và x là số nguyên nên từ phương trình 0,25 
 trên ta suy ra x { 1; 3; q; 3q}. 
 Ta xét các trường hợp sau: 
 + Nếu x1 , khi đó từ phương trình trên ta được 1 p 3q . 
 Do q là số nguyên tố nên: 0,25 
 - Khi q2 thì ta được p5p,q . x
x5 px 3q- 0Khi q2 thì 3q là số lẻ nên p là số nguyên tố chẵn. Do 
 đó p2 nên q1 không phải là số nguyên tố. + Nếu x3 , khi đó từ phương trình trên ta được p 81 q . 
Do đó p là số nguyên tố chẵn và q là số nguyên tố lẻ. Từ đó 0,25 
ta được p 2;q 83. 
+ Nếu xq khi đó từ phương trình trên ta được pp 4 =3. 
Trường hợp này không xảy ra do p và q là số nguyên tố nên 
 4 
p p 3. 0,25 
+ Nếu x 3q , khi đó phương trình trên ta được p 81p4 1. 
Trường hợp này không xảy ra do p và q là số nguyên tố nên 
p 81p4 1. 
Vậy các bộ số (x;p;q) thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
( 1;5;2),( 3;2;83) .