Đề ôn thi Đại học môn Toán - Số 2

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 - NĂM HỌC 2011
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) 
Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất . 
Câu II (2 điểm)
Giải phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0 
Giải phương trình: x2 – 4x - 3 = 
Câu III (1 điểm)
	Tính tích phân: 
Câu IV (1 điểm)
	Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất .
Câu V ( 1 điểm ) 
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . CMR:	
PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn một trong hai phần A hoặc B
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a.( 2 điểm ) 
1. Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1) 
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : 
 x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : 
	(d) và (d’) 
Viết phương trình tham số của đường thẳng () nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng .
Câu VIIa . ( 1 điểm ) 
Tính tổng : 
B. Theo chương trình Nâng cao	
Câu VI.b.( 2 điểm ) 
1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn : 
	(C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :
	(d) và (d’) 
a. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau .
b. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) .
Câu VIIb.( 1 điểm ) 
Giải phương trình : 
----------------------------- Hết -----------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
®¸p ¸n ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 2 n¨m häc 2009 - 2010
M«n thi: to¸n 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò
C©u
Néi dung
§iÓm
I
2.0®
1
1.25®
Hµm sè y = cã :
- TX§: D = \ {2}
 - Sù biÕn thiªn:
+ ) Giíi h¹n : . Do ®ã §THS nhËn ®­êng th¼ng y = 2 lµm TCN
, . Do ®ã §THS nhËn ®­êng th¼ng x = 2 lµm TC§
+) B¶ng biÕn thiªn:
Ta cã : y’ = < 0 
y’
y
x
-
2
-
2
2
2
Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng vµ hµm sè kh«ng cã cùc trÞ
- §å thÞ
+ Giao ®iÓm víi trôc tung : (0 ; )
+ Giao ®iÓm víi trôc hoµnh :
A(3/2; 0) 
- §THS nhËn ®iÓm (2; 2) 
lµm t©m ®èi xøng 
0,25
0,25
0,25
0,5
2
0,75đ
Lấy điểm . Ta có : .
Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình : 
Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là : 
Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – 2 ; 2)
Ta có : . Dấu “=” xảy ra khi m = 2
Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : (2; 2)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
II
2,0®
1
1,0®
Phương trình đã cho tương đương với : 
 2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0 
 Xét 
Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . Đặt t = sinx + cosx 
với . Khi đó phương trình trở thành:
Suy ra : 
0,25
0,25
0,5
2
1,0®
 x2 - 4x + 3 = (1)
TX§ : D = 
®Æt y - 2 = , 
Ta cã hÖ :
0,25
0,25
0,5
III
1.0®
1®
Ta có : =
 . Đặt 
Đổi cận : 
Vậy I2= 
Nên I = 1
0,5
0,5
IV
2®
1.0®
Gọi là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC) . 
Ta có : ; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin
Vậy 
Xét hàm số : f(x) = x – x3 trên khoảng ( 0; 1) 
Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 . 
Từ đó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số
f(x) liên tục và có một điểm cực trị là điểm
cực đại, nên tại đó hàm số đạt GTLN
hay 
Vậy MaxVSABC = , đạt được khi
sin = hay 
( với 0 < )
0,25
0,5
V
1.0®
+Ta có : ;;
+ Lại có : 
cộng các BĐT này ta được đpcm.
1®
VIa
2®
1
1®
Đường thẳng AC đi qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình :
 a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a2 + b2 0) . Góc của nó tạo với BC bằng góc của AB tạo với BC nên :
 9a2 + 100ab – 96b2 = 0
Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( vì điểm ( 3 ; 1) không thuộc AB) nên không phải là cạnh tam giác .
Vậy còn lại : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9 
Phương trình cần tìm là : 8x + 9y – 33 = 0
0,25
0,25
0,25
0,25
2
1®
Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5)
Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình :
+ Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP 
+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP 
Ta có : 
Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm)
Khi đó : 
0,25
0,25
0,25
0,25
VIIa
1đ
Chọn khai triển :
Hệ số của x5 trong khai triển của (x + 1)5.(x + 1)7 là : 
Mặt khác : (x + 1)5.(x + 1)7 = (x + 1)12 và hệ số của x5 trong khai triển của
(x + 1)12 là : 
Từ đó ta có : = = 792
.0,25
0,25
0,25
0,25
VIb
2đ
1
1đ
Đường tròn (C1) có tâm I1(5 ; -12) bán kính R1 = 15 , Đường tròn (C2) có tâm I2(1 ; 2) bán kính R1 = 5 . Nếu đường thẳng Ax + By + C = 0 
(A2 + B2 0) là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) thì khoảng cách từ I1 và I2 đến đường thẳng đó lần lượt bằng R1 và R2 , tức là :
Từ (1) và (2) ta suy ra : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C | 
Hay 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C)
TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) C = A – 9B thay vào (2) :
 |2A – 7B | = 5 
Nếu ta chọn B= 21 thì sẽ được A = - 14 , C = 
Vậy có hai tiếp tuyến :
(- 14 )x + 21y = 0
TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C) , thay vào (2) ta được : 96A2 + 28AB + 51B2 = 0 . Phương trình này vô nghiệm .
0,25
0,25
0,25
0,25
2
1®
a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP 
+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP 
Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là hay (d) và (d’) cắt nhau . (ĐPCM)
b) Ta lấy . 
Ta đặt : 	
Khi đó, hai đường phân giác cần tìm là hai đường thẳng đi qua I và lần lượt nhận hai véctơ làm VTCP và chúng có phương trình là :
 và 
VIIb
1®
ĐK : x > 0 
PT đã cho tương đương với : log5( x + 3) = log2x (1)
Đặt t = log2x, suy ra x = 2t 
 (2)
Xét hàm số : f(t) = 
f'(t) = 
Suy ra f(t) nghịch biến trên R 
Lại có : f(1) = 1 nên PT (2) có nghiệm duy nhất t = 1 hay log2x = 1 hay x =2
Vậy nghiệm của PT đã cho là : x = 2
0,25
0,25
0,25
0,25