Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi dự thi quốc gia môn Toán - Năm học 2015-2016 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

SỞ GDĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN 
HỌC SINH GIỎI DỰ THI QUỐC GIA
Năm học 2015 – 2016; Môn: TOÁN
Ngày thi 29/10/2015
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang
Câu 1 (5,0 điểm). Cho các số thực dương bất kì ( là số tự nhiên cho trước, ). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
Câu 2 (5,0 điểm). Cho trước hai số thực dương . Hàm số thỏa mãn: . 
Hãy tính .
Câu 3 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và D là một điểm thuộc cung BC của đường tròn (O) không chứa A. M là trung điểm của đoạn BC. P là một điểm nằm trên đường thẳng DM. E và F là hai điểm nằm CA, AB sao cho . Gọi tiếp tuyến tại E, F của đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác AEF cắt nhau tại T. Gọi tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) cắt nhau tại S. Gọi Q thuộc (O) sao cho . Chứng minh rằng .
Câu 4 ( 5,0 điểm). Cho . Chứng minh rằng có thể tìm được 9 số thuộc khác nhau đôi một sao cho hệ phương trình
có nghiệm nguyên thoả mãn .
HẾT
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:..........................................................................
Giám thị 2:..........................................................................