Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi dự thi quốc gia môn Toán - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC
HỌC SINH GIỎI DỰ THI QUỐC GIA
Năm học 2016 - 2017
MÔN: TOÁN
Ngày thi:28/10/2016
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
Câu 1 (4,0 điểm) 
Cho a và b là hai số thực thuộc khoảng (0; 1). Dãy số (un) được xác định như sau 
 .
Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Câu 2(4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn
Câu 3 (4,0 điểm)
Giả sử q là một số nguyên tố, dãy () được xây dựng như sau
Tìm q, biết tồn tại số tự nhiên k để 
Câu 4 ( 4,0 điểm) 
Cho tam giác ABC và điểm D di động trên đoạn BC (không trùng với B và C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt đường thẳng AC tại F khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt đường thẳng AB tại E khác A.
a) Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng BF và CE luôn di chuyển trên một đường cố định khi D di động trên đoạn BC.
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5 (4,0 điểm)
a) Có 2016 lá thư khác nhau và 2016 phong bì đã ghi sẵn địa chỉ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cho mỗi lá thư vào một phong bì sao cho có ít nhất một lá thư được cho đúng địa chỉ? 
b) Có bao nhiêu cách lát đường đi hình chữ nhật kích thước (n là số nguyên dương) bằng các viên gạch hình chữ nhật kích thước ?
 Hết..............
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.Số báo danh:
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:...
 Giám thị 2:
SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
HDC ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC
HỌC SINH GIỎI DỰ THI QUỐC GIA
Năm học 2016 - 2017
MÔN: TOÁN
Ngày thi:28/10/2016
Hướng dẫn chấm gồm 05 câu, trong 05 trang
A) Hướng dẫn chung: 
1) Học sinh làm đúng đến đâu thì chấm đến đó. Học sinh trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo chấm tương ứng biểu điểm của HDC.
2) Việc chi tiết hóa thang điểm phải đảm bảo không làm sai lệch biểu điểm của HDC và phải được thống nhất trong toàn hội đồng chấm thi.
3) Điểm của bài thi không làm tròn.
B) Hướng dẫn cụ thể: 
Câu
Đáp án
Điểm
1
(4,0đ)
Xét dãy số (vn) được xác định như sau: v0 = min 
0.5
 Vì a; b (0; 1), nên 0 < v0 < 1 và nếu 0 < vn < 1, thì 
 hay 0 < vn + 1 < 1
Theo nguyên lí quy nạp, ta có 0 < vn < 1, với mọi 
0.5
Do đó 
Như vậy (vn) là dãy số tăng, bị chặn trên bởi 1 nên nó có giới hạn
0,5
Giả sử thì 
Ta có 
0.5
Hệ thức trên có thể biến đổi thành 
Do , thì nên 
Vậy 
0.5
Ta cũng có 0 < u0 < 1, 0 < u1 < 1 và nếu 0 < un < 1, 0 < un + 1 < 1 thì
Theo nguyên lí quy nạp, ta được 0 < un < 1, 
0,5
Tiếp theo ta chứng minh
Thật vậy, theo cách xác định v0, bất đẳng thức đúng với n = 0
Giả sử BĐT đúng với , nghĩa là thì 
 Mà , suy ra 
0,5
Ta được 
Theo nguyên lí quy nạp ta có
Như vậy và 
Do đó dãy số (un) có giới hạn và 
0.5
2
(4,0 đ)
Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn
Ta có phương trình tương đương với: 
0.5
Đặt 
Khi đó phương trình trở thành: 
Mà nên 
0.5
Với mỗi , xét dãy xác định bởi :
Khi đó: 
Và thỏa mãn: 
0.5
Ta có: (a, b, c là các hằng số)
Nên 
Do đó 
Vậy 
0.5
 Do nên
+) Nếu thì với n đủ lớn, ta có 
+) Nếu thì với n đủ lớn, ta có 
0.5
Mà nên không thỏa mãn. Vậy 
Suy ra 
0.5
Do nên . Suy ra 
Mà 
0.5
Vậy, Thử lại thấy đúng.
0.5
3
(4.0 đ)
Ta có 
0.5
Do nên 
0.5
Do đó 
0.5
Suy ra
0.5
Nếu , ta có 
Do đó là số chẵn với mọi số tự nhiên n (mâu thuẫn với giả thiết tồn tại số tự nhiên k để )
Vậy q là số lẻ
0.5
Vì q lẻ nên 
Mà nên 
0.5
Ta có .
Suy ra 
0.5
Thử lại, ta có (thoả mãn)
Vậy q = 7
0.5
4.
(4.0 đ)
Gọi P là giao điểm của BF và CE.
Ta có: 
0.5
Suy ra 
Suy ra A, E, P, F đồng viên.
0.5
Kẻ các đường cao AI, BK, CT, H là trực tâm tam giác ABC. Khi đó : 
. 
0.5
Suy ra
. Suy ra B, P, H, C đồng viên.
Do đó điểm P di động trên đường tròn cố định (BHC).
0.5
b. Vì A, E, P, F đồng viên, tương tự D, C, F, P cũng đồng viên nên theo định lý Miquel B, E, P, D đồng viên.
0.5
Gọi M là giao điểm khác P của hai đường tròn (AEF) và (BHC). Ta sẽ chứng minh M nằm trên đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ABC.
Thật vậy, kẻ một đường thẳng qua A song song với BC cắt (AEF) tại điểm thứ hai là G. Khi đó:
. 
Do đó P, G, D thẳng hàng.
0.5
Gọi N, Q theo thứ tự là giao điểm của GD và AM với (BHC). Khi đó .
Mặt khác, nên N đối xứng với A qua BC. Mà NCBQ là hình thang cân ( vì QN song song với BC) nên BQCA là hình bình hành.
0.5
Do đó AQ là đường trung tuyến của tam giác ABC. Suy ra M nằm trên đường trung tuyến AQ. 
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm cố định M là giao điểm của (BHC) và đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC.
0.5
5
(4.0 đ)
a) Gọi là tập hợp các cách sắp xếp sao cho lá thư thứ i cho đúng địa chỉ, (khi đó các lá thư còn lại được sắp xếp tùy ý).
Để lá thư thư nhất đúng địa chỉ thì chỉ có 1 cách xếp cho lá thư thứ nhất, các lá thư còn lại có 2015! cách xếp, vậy , 
suy ra 
0.5
Để lá thư thứ nhất và thứ hai đúng địa chỉ thì chỉ có 1 cách xếp cho hai lá thư này, các lá thư khác có 2014! cách xếp, vậy = 2014!
 suy ra 
.......
0.25
Tương tự lập luận trên ta có 
0.25
0.5
= 
= 
0.25
Vậy số cách cho mỗi lá thư vào một bì thư sao cho có ít nhất một lá thư được cho đúng địa chỉ là 
0.25
b) Kí hiệu Sn là số cách lát lối đi hình chữ nhật kích thước 3x2n bằng các viên gạch hình chữ nhật kích thước 1x2. Ta có S1 = 3.
0.25
Kí hiệu Tk là số cách lát lối đi sao cho hình chữ nhật đầu tiên kích thước 3x2k được lát kín hoàn toàn mà không có giá trị nào để hình chữ nhật đầu tiên kích thước 3x2i được lát kín hoàn toàn. Ta có: .
0.5
Dễ thấy : ; và (số cách lát kín phần lối đi 3x2k mà không có phần lối đi 3x2i (i<k) nào được lát kín là 2 (cách lát đối xứng)). 
Do đó: .
0.5
Do đó .
0.25
Vậy 
do đó 
0.5
 -------------- Hết ---------------