Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia môn Toán Lớp 12 - Năm học 2011-2012 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

SỞ GDĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA
Năm học: 2011 – 2012
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút (không tính thời gian phát đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1 (4 điểm)
Cho dãy số (xn) thỏa mãn: . 
a) Chứng minh rằng: xn + n2 với mọi n Î
b) Chứng minh rằng: Dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn.
Câu 2 (4 điểm)
Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn :. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:. 
Câu 3 (4 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD, lấy hai điểm P, Q sao cho hai tứ giác APQD và BPQC nội tiếp được trong đường tròn. Giả sử tồn tại điểm M trên đoạn PQ thỏa mãn . Chứng minh rằng: 
a) Đường thẳng PQ là tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM.
b) Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.
Câu 4 (4 điểm)
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 
Câu 5 (4 điểm)
Trên một đường thẳng có 2n bóng đèn theo tứ tự từ trái sang phải, mỗi một đèn có thể ở một trong hai trạng thái bật hoặc tắt. Mỗi giây ta đồng thời thay đổi trạng thái của các đèn như sau: nếu đèn và các đèn kề nó (chỉ có một đèn kề với và , có hai đèn kề với các đèn còn lại) là cùng trạng thái thì Li chuyển sang trạng thái bật, ngược lại chuyển sang trạng thái tắt. Ban đầu các đèn đều bật trừ đèn tắt. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn lần thay đổi trạng thái tất cả các đèn đều bật.
---Hết---
Họ và tên thí sinh:...............................................................; chữ ký............................
Chữ ký của: giám thị 1:......................................; giám thị 2:......................................