Đề thi chọn đội tuyển HSG môn Toán Lớp 9 (Đề chính thức) - Vòng 2 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN TOÁN - VÒNG 2
Thời gian làm bài 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 ( 2 điểm): 
 a) Rút gọn biểu thức : .
 b) Xét dãy số: Tính 
Câu 2 (2 điểm):
 Giải phương trình : 
 Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (2 điểm): 
 a) Tìm số nguyên a để phương trình sau có nghiệm nguyên
 .
 b) Chứng minh rằng giữa hai số vô tỉ khác nhau luôn tồn tại 2 số hữu tỉ.
Câu 4 (3 điểm):
Cho tam giác ABC cân tại A có ; AB = AC = b và BC = a .
 Chứng minh rằng : a3 + b3 = 3ab2 .
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và B). Hạ MH vuông góc với AB tại H. Gọi P, Q, I lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác MAH, MBH, AMB.
a) Chứng minh MI vuông góc với PQ.
b) Xác định vị trí của điển M trên nửa đường tròn để chu vi tam giác PHQ lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm): 
Cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn a + b + c = 4 
 	 Chứng minh rằng a + b + c > 2 
------------- Hết-------------
SBD: ................... Họ và tên thí sinh: ..............................................................................
Giám thị 1: .................................................. Giám thị 2: .................................................
PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI
CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN TOÁN - VÒNG 2
Thời gian làm bài: 150 phút
(Hướng dẫn chấm gồm 05 câu 04 trang)
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
a
(1,0)
0,25
0,25
0,25
0,25
b (1,0)
Ta có: u1 = 1
0,25
0,25
 ...............
0,25
Vậy 
0,25
2
a (1,0)
 Giải phương trình : 
1,0
 ĐKXĐ: x -1 . Đặt : = a ; a 0
0,25
 => a= 3x + 4 + 2 = 3x + 2 - 16 + 20 
 = a + 20
 => phương trình trở thành: a2 – a – 20 = 0 
0,25
 Giải phương trình được a = 5 (vì a 0)
 => = 5 
 ó 2 , ĐK : x 
0,25
 Giải phương trính này cho ta kết quả: x = 3 ( thỏa mãn các ĐK)
 Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là : x = 3 
0,25
b (1,0)
ĐK: 
Trừ từng vế của hai phương trình ta được x + y = - 0,5
Thay vào ta có hệ mới là: 
0,25
Đặt 
 đưa về hệ 
0,25
0,25
( Thỏa mãnĐK)
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất là 
0,25
3
a (1,0)
 Giả sử có a nguyên để phương trình có nghiệm nguyên.
Khi đó ta có 
Ta thấy x=1 không là nghiệm của phương trình.
Suy ra 
0,25
0,25
Do x nguyên suy ra a nguyên 
0,25
Vậy 
0,25
b(1,0)
Giả sử x; y là 2 số vô tỉ với x < y 
=> y - x > 0 => $ m Î N* để m ( y - x) >2 
0,25
=> my - mx > 2 => $ n Î Z 
mx x < < y 
0,25
trong đó là số hữu tỉ 
Như vậy giữa x và y luôn tồn tại một số hữu tỉ . 
0,25
Tương tự x và cũng tồn tại 1 số hữu tỉ. 
Vậy giữa 2 số vô tỷ khác nhau x, y luôn tồn tại 2 số hữu tỷ
0,25
4
1
ABC cân tại A có góc nên 
Trên cạnh AC lấy D sao cho 
Khi đó nên 
 BDC cân tại B BD = BC = a .
0,25
BDC ABC ( g – g) DC = 
 AD = b - 
0,25
BDE vuông có 
BE = BD = a và DE = BD = a. ; AE = b - a.
0,25
AD2 = AE2 + DE2 
 (b - )2 = (b - a)2 + (a.)2 
 b2 - 2a2 + = b2 - ab + + 
 = 3a2 –ab 
 a4 = 3a2b2 - ab3 
 a4 + ab3 = 3a2b2 
 a3 + b3 = 3ab2
0,25
2
0,25
a.( 0,75 điểm)
Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AI với MQ, và BI với MP.PQ cắt MA, MB lần lượt tại K và D.
Ta có MP và MQ là phân giác của hai góc phụ nhau nên .
Lại có góc MPE là góc ngoài của tam giác MPA nên 
Suy ra tam giác MPE vuông cân tại E, suy ra 
Chứng minh tương tự .
 Suy ra I là trực tâm của tam giác MPQ, suy ra MI vuông góc với PQ.
0.25
0.25
0.25
b)Ta có tam giác KMD có đường cao MI đồng thời là tia phân giác nên là tam giác vuông cân
Ta C/M được nên HQ=QD.
 Chứng minh tương tự PH =PK, suy ra chu vi tam giác PHQ bằng PH+HQ +QP =KP +PQ +QD =KD= .
Lại có: MD= MH ( do), nên để chu vi tam giác PHQ lớn nhất thì MH phải lớn nhất.Mà MHkhông đổi, nên MH lớn nhất bằng MO khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung AB.
0.25
0.25
0.25
0.25
5
 (1 đ)
 Áp dụng bất đẳng thức Cô Si với 2 số dương a + b và c ta có:
 a + b + c ³ 2c ³ 2c 
Mà a + b + c = 4 nên 4 ³ 2c Þ 2 ³ c
Tương tự 2 ³ a; 2 ³ b
Nhận xét: a, b, c không thể đồng thời bằng 2 nên
 a(a - 2) + b( b - 2) + c( c - 2) < 0.
Þ a + b + c < 2( a + b + c) Þ 4 < 2 ( a + b + c)
 Þ 2 < a + b + c
0,25
0,25
0,25
0,25
* Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho đủ biểu điểm.
------------- Hết-------------