Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Lâm Thao (Có đáp án)

 PHÒNG GD& ĐT LÂM THAO 
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2017-2018 
Môn: TOÁN LỚP 9 
 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề 
(Đề thi có 02 trang) 
I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm) 
Hãy chọn phương án trả lời đúng 
Câu 1.Giá trị x thỏa mãn : 2 1 5 2x   là : 
A. 25x  
B. 
1
2
x  C. 
1
4
2
x  D. 
1
25
2
x  
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3P x x   với 3x   là : 
A.-3 B. 3 C.-4 D.4 
Câu 3. Cho 3 35 2 6 5 2 6x     thì giá trị biểu thức 3 3 2008N x x   là 
A.2017 B.2018 C.2019 D. 2020 
Câu 4 . Góc tạo bởi đường thẳng 
2 1
3 2
y x   và trục Ox là: 
A. 0 /146 19 B. 0 /33 42 C. 0 /146 30 D. 0 /33 69 
Câu 5 . Trên mặt phẳng tọa độ Cho ba điểm      1;3 ; 3; 1 ; 4; 2A B C   thì diện tích tam giác ABC là: 
A. 20 B. 18 C. 17 D. 15 
Câu 6. Điều kiện của m để 2 đường thẳng ( 3) 5 2y m m x m    và đường thẳng 
 ( 8) ( 4)y m x m m    song song là : 
A. 4m   B. 2; 1m m   C. 2m  hoặc 4m   D. 2; 1m m   
Câu 7 . Giá trị m để hệ phương trình : 





122
12
mmyx
mymx
 có nghiệm duy nhất là 
A. m 2 B. 2m   C. 2m   D. Giá trị khác 
Câu 8. Cho hệ phương trình :
4 1
2 5( 1)
x y m
x y m
    

  
 Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn 3 13x y  
A. 2m  B. 2m   C. 4m   D. 4m  
Câu 9. Cho hệ phương trình 
2( 1)
2 8
x y m
x y m
  

  
Hệ có nghiệm duy nhất  ;x y thì giá trị nhỏ nhất của 2 2x y là: 
A.-2 B. 20 C.16 D.18 
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH kẻ HD AB, HE AC 
(H BC,D AB,E AC)   thì AD.BD+AE.EC bằng: 
A. 2DE B. 2BC C. 2AH D. 22AH 
Câu 11. Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng 
4
9
thì tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh 
góc vuông đó trên cạnh huyền là: 
 A. 
2
3
 B. 
16
81
 C. 
4
9
 D. 
9
4
Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 21cm, cosC = 
3
5
. Khi đó tanB là : 
 A. 
3
4
 B. 
4
3
 C. 
21
35
 D. 
35
21
2 
Câu 13.. Cho tam giác đều có độ dài cạnh là a thì độ dài bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác 
đó là: 
 A. 
a
3
 B. 
a 3
6
 C. 
a 3
2
 D. 
a 3
3
Câu 14. Cho đường tròn tâm O bán kính R=4cm dây AB=5cm trên dây AB lấy điểm C sao cho 
AC=2cm kẻ CD vuông góc với đường kính AE tại D .Tính độ dài AD : 
A. 
5
3
cm B. 
7
4
cm C. 
5
4
cm 
D. 1,5cm 
Câu 15. Cho đường tròn tâm O bán kính R=15cm dây AB=24cm. Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax, qua O 
kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt Ax tại C thì độ dài OC là: 
A. 20cm B. 25cm C. 30cm D. 35cm 
Câu 16. Nêú bạn An đi lên môt thang cuốn tốc độ là 1 bước trên giây thì bạn An sẽ đến đỉnh thang 
trong 10 bước nêú bạn An tăng vận tốc lên 2 bước trên giây thì sẽ lên tới đỉnh thang trong 16 bước . 
Hỏi thang cuốn có bao nhiêu bước. 
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 
II. PHẦN TỰ LUÂN( 12 điểm) 
Câu 1 (3,0 điểm). 
 a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh : 
2 3 31 x x x y    
 b) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức 
2 6x x  là một số chính phương 
Câu 2 (3,5 điểm) 
 a)Giải phương trình: 22 5 5 5 1x x x    
 b) Giải hệ phương trình : 
2 2 21 10
1 7
x y y
xy x y
  

  
Câu 3 (4,0 điểm) . 
1.Cho đường tr n t m bán ính đường ính AB. T hai điểm A và B ẻ hai tia tiếp tuyến 
A và By với nửa đường tròn , điểm thuộc nửa đường tr n (sao cho tia Ax, By và nửa đường tròn 
chứa điểm M cùng nẳm trên nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm ẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tia tiếp 
tuyến A và By l n lư t ở C và D, ọi giao điểm của AD và BC là K, K và AB là . 
 a Chứng minh K vuông góc với AB và K K . 
 b ẽ tam giác vuông c n B đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tr n ( (B và BD c ng nửa 
mặt phẳng bờ AB . Chứng minh rằng hi i chuyển trên nửa đường tr n đường ính AB thì đường 
thẳng đi ua và ong ong với B luôn đi ua một điểm cố định. 
 2.Cho tam giác ABC có AB c, AC b, BC a. Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC, AC, 
BC là ha, hb,,hc .Chứng minh rằng: 
2
2 2 2
( )
4
a b c
a b c
h h h
 

 
Câu 4 (1,5 điểm). 
Cho 3 số thực ương a,b,c thỏa mãn 2a b c   
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
    22 2 2
1 1 1
21 12 2017P a b c a b c
a b c
 
         
 
------HẾT------ 
3 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2017-2018 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TO N LỚP 9 
I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm) 
 Mỗi lựa chọn đúng 0,5 điểm Câu có 2 trở lên phải chọn đủ mới cho điểm 
1.D 2.C 3.B 4.A 5.D 6.A 7.C 8.B 
9.D 10.A,C 11.B 12.A 13.D 14.C 15.B 16.B 
II.PHẦN TỰ LUẬN(12 điểm ) 
Câu 1 (3,0 điểm) 
 a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh :
2 3 31 x x x y    
 b) Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho giá trị của biểu thức 
2 6x x  là một số chính 
phương. 
Đ P N ĐIỂM 
b) (1,5 điểm)Ta có 
     
 
2 2
2 2
3 2 2 3 2 3 2
33 2 3
1 3 11 19
1 0;5 11 7 5 0
2 4 10 20
1 1 8 12 6 5 11 7
1 2
x x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x x
   
              
   
             
      
 vì ,x y Z mà 3 2 31y x x x    
0,5 
0,5 
Suy ra 
   
      
3 2 3
0
1 1 1 0
1
0 1
1 0
; 0;1 ; 1;0
x
x x x x x x
x
Voi x y
Voi x y
Vay x y

           
  
   
 
0,5 
b) (1,5 điểm) 
  
2 2 2 2 2 26 ;( ,x ) 4 4 24 4 4 4 1 4 23
2 1 2 2 1 2 23;2 1 2 2 1 2
x x n n Z x x n x x n
x n x n x n x n
             
          
2 1 2x n  -1 -23 
2 1 2x n  23 1 
4 2x  22 -22 
x 5 -6 
Vậy số nguyên x c n tìm là 5 hoặc –6 
0,75 
0,75 
4 
 Câu 2 (3,5 điểm) 
 a) Giải phương trình: 22 5 5 5 1x x x    
 b) Giải hệ phương trình : 
2 2 21 10
1 7
x y y
xy x y
  

  
(I) 
Đ P N ĐIỂM 
a)( 1,5 điểm) ĐKXĐ 
1
5
x  
 
 
   
2 2
22
2
2 5 5 5 1 2 3 2 1 5 1 0
1 5 1
2 3 2 0
1 5 1
x x x x x x x
x x
x x
x x
           
  
    
  
0,5 
   
2
2 23 2 12 3 2 0 3 2 2 0
1 5 1 1 5 1
x x
x x x x
x x x x
   
          
      
 0,5 
  2
1 1
2 0
5 1 5 1
1
3 2 0 1 2 0
2
do x
x x
x
x x x x
x
   
  

         
 1;2S  
0,5 
b)( 2 điểm) 
ta thấy y=0 không thoả mãn hệ (I) với 0y  
2
2
2
1 1
10 2 10
( )
1 17 7
x
x x
y y y
I
x xx x
y y y y
  
      
    
        
 đặt 
1
S x
y
x
P
y

 


 

thay vào (II ta đư c 
2
2
7 6 42 10
13 37 2 24 0
P S S SS P
P PS P S S
        
     
        
Với 
4
3
S
P



=> x và 
1
y
 là 2 nghiệm của phương trình   2
1
4 3 0 1 3 0
3
t
t t t t
t

         
0,5 
0,5 
5 
1 1
* 1 1
3
3
3
3
* 1
1 1
x x
y
y
x
x
y
y
 
 
 
  


 
 

6
13
S
P
 


 suy ra x và 
1
y
 là 2 nghiệm của phương trình 
 
22 6 13 0 3 4 0t t t Vo nghiem       
    
1
; 1; ; 3;1
3
x y
  
  
  
0,5 
0,5 
Câu 3 (4,0 điểm) . 
1.Cho đường tr n t m bán ính đường ính AB. T hai điểm A và B ẻ hai tia tiếp 
tuyến A và By với nửa đường tròn , điểm thuộc nửa đường tr n ( ao cho tia A , By và nửa 
đường tròn chứa điểm M cùng nẳm trên nửa mặt phẳng bờ AB . Qua điểm ẻ tiếp tuyến thứ ba, 
cắt các tia tiếp tuyến A và By l n lư t ở C và D, ọi giao điểm của AD và BC là K, MK và AB là 
H. 
 a Chứng minh K vuông góc với AB và K K 
 b ẽ tam giác vuông c n B đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tr n ( (B và BD c ng 
nửa mặt phẳng bờ AB . Chứng minh rằng hi i chuyển trên nửa đường tr n đường ính AB thì 
đường thẳng đi ua và ong ong với B luôn đi ua một điểm cố định. 
 2.Cho tam giác ABC có AB c, AC b, BC a. Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC, 
AC, BC là ha, hb,,hc chứng minh rằng.
2
2 2 2
( )
4
a b c
a b c
h h h
 

 
. 
O
F
N
K
H
B
E
C
M
D
A
6 
Đ P N ĐIỂM 
a)( 2 điểm) Th o tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: 
 AC = CM, BD = DM. 
 ì A và By c ng vuông góc với AB nên A By, th o định lí Ta-l t ta 
có: 
KD BD
KA AC
 
KD MD
KA MC
  MK // AC mà AC AB MK AB   
Ta có (1); (2); (3); (1)(2)(3) :
KH BK KM DK KD BK
Tu ta có
AC BC AC DA AD BC
   
KH MK
MK KH
AC AC
   
1,0 
1,0 
 b)( 1 điểm ọi là giao điểm của tia By và đường thẳng đi ua và ong ong với 
 B. Ta có BEF = 90 0 . 
Chứng minh tam giác A B và tam giác B bằng nhau ( g-c-g) 
 AB = BF=2R  B hông đ i, 
 thuộc tia By cố định  cố định. 
 ậy hi i chuyển trên nửa đường tr n đường ính AB thì đường thẳng đi ua và 
 ong ong với B luôn đi ua điểm cố định . 
0,5 
0,5 
c) ( 1 điểm) 
d
a
ha
ha
ha
b
c
c
D
H
CB
A
Qua A kẻ đường thẳng d//BC gọi D là đối xứng của B qua d thì 2 ,aBD h AD c  
Trong tam giác ACD ta có  
22DC AD AC c b DC b c       
dấu “ : ảy ra khi ABC 060A  
mà trong tam giác vuông DBC 
    
22 2 2 2 2 2 24 4 ,(1)a aDC BD BC h a h b c a b c a b c a             
Tương tự      2 24 ,(2);4 ,(3)b ch a c b b c a h a b c b c a          
T (1);(2);(3) ta có: 
0,5 
7 
    
 
22 2 2
2
2 2 2
4 4 4
4
a b c
a b c
h h h a b c b c a a c b a b c a b c
a b c
h h h
               
 
 
 
Dấu "=" xảy ra hi tam giác ABC đều 
0,5 
Câu 4 ( 1,5 điểm) Cho 3 số thực ương a,b,c thỏa mãn 2a b c   
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 
    22 2 2
1 1 1
21 12 2017P a b c a b c
a b c
 
         
 
Đ P N ĐIỂM 
Ta có Theo BĐT Bunhiacôpky ta có    
22 2 23 ;a b c a b c     
Mặt khác  
1 1 1 1 1 1 9
9a b c
a b c a b c a b c
 
         
  
Nên 
0,5 
   
2 218153 8 8 17849
19 19P a b c a b c Q
a b c a b c a b c a b c
 
                   
0,5 
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số ương ta có 
 
2
3
8 8 17849 17849 18305
19.3 . . 228
2 2 2
P Q a b c
a b c a b c
       
   
 
2
0
18305 2
(P) 2
2 3
8
a b c
Min a b c a b c
a b c
a b c

   

        

   
 
0,5 
 ...................................... HẾT ................................. 
Chú ý : - Điểm toàn bài làm tr n đến 0,25 
 - Nếu cách giải hác đúng vẫn cho điểm tối đa ứng với t ng ph n trong hướng dẫn chấm