Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 9 THCS (Khóa ngày 11-4-2013) - Năm học 2012-2013 - Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THÀNH PHỐ CẦN THƠ 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS 
CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2012-2013 
ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày: 11/04/2013 
MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút , không kể thời gian phát đề 
Câu 1 (5,0 điểm) 
1. Cho biểu thức 
2m 16m 6 m 2 3
P 2
m 2 m 3 m 1 m 3
  
   
   
a) Rút gọn P 
b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên 
2. Tính giá trị  
2013
3a 15a 25  với 3 3a 13 7 6 13 7 6    
Câu 2. (5,0 điểm) 
1. Giải phương trình:  2x 5 3 x 2 15 2x x 1 0        
2. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm 
2
2
2x mx 1 0
mx x 2 0
   

  
Câu 3. (5,0 điểm) 
1. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa 
1 1 1
2
x y z
   
2. Cho hai số x, y thỏa mãn 
2 2
x y 2
x y xy 3
 

  
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2T x y xy   
Câu 4. (2,0 điểm) 
 Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B nằm ngoài đường tròn sao cho 
OA = 2R. Tìm điểm M trên đường tròn để MA + 2 MB đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu 5. (3,0 điểm) 
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi P là một điểm di 
động trên cung BC không chứa A. 
1. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ A xuống PB, PC. Chứng minh 
rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định 
2. Gọi I, D, E là chân các đường cao lần lượt hạ từ A, B, C xuống các cạnh BC, CA, 
AB. Chứng minh rằng chu vi tam giác IDE không đổi khi A, B, C thay đổi trên 
đường tròn (O;R) sao cho diện tích tam giác ABC luôn bằng 2a 
ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 9 CẦN THƠ 2012-2013 
Câu 1. 
1. a) Điều kiện : m 0;m 1  
m 1
P
m 1



b) 
2
P 1
m 1
 

Để  P m 4;9   
2. 3 3 3a 13 7 6 13 7 6 a 26 15a       
 
2013
3 3a 15a 25 1 a 15a 25 1        
Câu 2. 
1. Điều kiện : 5 x 3   
Đặt t = 2 2x 5 3 x,t 8 2 15 2x x t 2 2         
Phương trình đã cho có dạng : 2
t 3
t t 6 0
t 2(loai)

    
 
2
t 3 x 5 3 x 3
2 3 7
x
2
4x 8x 59 0
2 3 7
x
2
     
  

    
  


2. Đặt 2x y 0.  Hệ trở thành 
mx 2y 1
x my 2
 

   
Hệ luôn có nghiệm 
2
2
m 4
x
m 2
1 2m 1
y 0(m )
m 2 2

 

   
 
Ta có 
2
2 2
2 2
m 4 1 2m
x y (m 1)(m m 7) 0 m 1
m 2 m 2
  
           
  
Câu 3 
1. Không mất tính tổng quát , giả sử : 1 x y z   
1 1 1 3
2 x 1
x y z x
1 1 2
1
y z y
      
   
 y 1  (vô lý) 
Và y = 2 suy ra z = 2. 
Vậy (1;2;2) và các hoán vị của chúng là nghiệm của phương trình đã cho 
2. Hệ 
2 2 2 2
x y 2 x y 2 a (a 0)
x y xy 3 x y xy 3
      
 
      
Do đó 
 
2
2
x y 2 a
; S 4P 0 0 a 4
xy 2 a 3
  
      
  
 
22 2T x y xy 2xy 9 2 2 a       
Min T= 1 khi x=1; y=1 hoặc x= - 1 , y = - 1 
Max T = 9 khi x 3,y 3   hoặc x 3,y 3   
Câu 4 
Gọi C là điểm trên đoạn thẳng OA sao cho 
R
OC
2
 , ta có điểm C cố định 
Dễ thấy OCM đồng dạng với OMA MA 2MC   
Ta có MA MB BC  (không đổi) 
MA 2MB 2(MA MC) 2BC    
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M nằm giữa B và C 
Vậy khi điểm M là giao điểm của đoạn BC và đường tròn (O) thì MA + 2MB đạt 
giá trị nhỏ nhất 
M'
O
M
A
B
C
Câu 5. 
1. Kẻ AI BC , I BC cố định. Ta có 0BMA BIA 90  nên tứ giác AMBI nội tiếp 
hay AIM ABM 
Ta lại có tứ giác ABPC nội tiếp nên ABM ACP do đó AIM ACP (1) 
Mặt khác 0AIC ANC 90  nên tứ giác AINC nội tiếp suy ra 0ACP AIN 180 (2)  
Từ (1) và (2) suy ra 0AIM AIN 180  
Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I 
2. Tứ giác BCDE nội tiếp suy ra AED ACB 
Kéo dài AO cắt (O;R) tại điểm A’. Ta có: 
0EAO AED BAA' ACB 90    
AEOD
1 1
AO DE S AO.DE R.DE
2 2
     
Tương tự ta cũng có 
BEOI CDOI
1 1
S .R.EI ;S R.ID
2 2
  
Vậy  ABC AEOD BIOE CDOI
1
S S S S R. DE EI ID
2
      
2
ABC
2S 2a
DE EI ID
R R
     (không đổi) 
A'
E
D
I
N
M
O
A
B
C
P