Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán Lớp 9 (Ngày thi 19-3-2017) - Năm học 2016-2017 - Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Tháp (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH ĐỒNG THÁP 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2016-2017 
ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN 
Ngày thi: 19/03/2017 
Thời gian làm bài: 150 phút 
Câu 1. (4,0 điểm) 
a) Tính giá trị biểu thức 
  
4 3 2 2 10
A
1 2 3 2 1
 

  
b) Cho 4 3 2B n n n n.    Chứng minh rằng B chia hết cho 6 với mọi số nguyên n 
Câu 2. (2,0 điểm) 
 Cho biểu thức 
x x x 5 2x
P
x 1x 1 x 1

  
 
a) Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn P 
b) Tìm các giá trị của x để P có giá trị bằng 7 
Câu 3 . (2,0 điểm) 
a) Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng  
1 1 1
a b c 9
a b c
 
     
 
b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa điều kiện x y z 1.   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
x y z
P
x 1 y 1 z 1
  
  
Câu 4. (4,0 điểm) 
a) Giải hệ phương trình 
3 5
6
x y x y
3 4
3
x y x y

 
 

   
  
b) Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình là 40 km/h. Lúc đầu ô tô 
đi với vận tốc đó, khi còn 60 km nữa thì mới được một nửa quãng đường AB, người lái 
xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 
1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB 
Câu 5. (4,0 điểm) 
 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E, F lần lượt là chân đường 
cao kẻ từ C, B của tam giác ABC. D là điểm đối xứng của A qua O, M là trung điểm BC, H là 
trực tâm tam giác ABC. 
a) Chứng minh rằng M là trung điểm HD 
b) Gọi L là giao điểm thứ hai của CE với đường tròn tâm O. Chứng minh rằng H, L đối 
xứng nhau qua AB 
c) Chứng minh rằng EF vuông góc với AO 
Câu 6. (4,0 điểm) 
 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 4. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm E, 
F sao cho EC là phân giác góc BEF . Trên tia AB lấy K sao cho BK=DF. 
a) Chứng minh rằng CK = CF 
b) Chứng minh rằng EF=EK và EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định 
c) Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất 
ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 ĐỒNG THÁP 2016-2017 
Câu 1
  
4 3 2 2 10
A
1 2 3 2 1
 

  
   
  
2
4 3 2 2 10 4 2 1 10 4 2 1 10 6 4 2
1 2 3 2 1 3 2 3 2 2 1 6 4 2
A 1
         
         
 
b) 
     
   
4 3 2
2 2 2
B n n n n
B n (n 1) n(n 1)
B n.n. n 1 n 1 n n 1 n 1
B n n 1 n 1 n 1
   
   
     
   
Do    n 1 n n 1  là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 
Vậy B chia hết cho 6 
Câu 2. 
a) ĐK: x 0 ;x 1  
2 2x x x x x x 5 2x x x 5
P
x 1 x 1
      
 
 
b) 
5
P x
x 1
 

25P 7 x 7 x 8x 12 0
x 1
       
 
x 2;x 6   (nhận) 
Câu 3. 
a) Ta có : 
3
3
a b c 3 abc (1)
1 1 1 1
3 (2)
a b c a.b.c
  
  
(1) Nhân (2) vế theo vế ta được  
1 1 1
a b c 9
a b c
 
     
 
b) P=
x y z
x 1 y 1 z 1
 
  
1 1 1 1 1 1
P 1 1 1 3
x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1
 
          
      
Ta có : 
1 1 1 9
a b c a b c
 
   
  
 (theo câu a) 
Nên 
1 1 1 9 9
x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 4
 
    
        
9 3
P 3
4 4
   
Vậy GTLN của P là 
3
4
 khi 
1
x y z
3
   
Câu 4. 
a) Điều kiện x 0; x y   
Đặt 
1 1
a ;b
x y x y
 
 
Hệ trở thành 
1
3a 5b 6 x y 3 x 4a
3
3a 4b 3 y 1x y 1b 1
       
     
       
 thỏa điều kiện 
b) Gọi x là quãng đường AB (x>0) 
Quãng đường ô tô đi với vận tốc ban đầu là : 
x
60
2
 
Quãng đường ô tô đi với vận tốc tăng lên là 
x
60
2
 
Thời gian ô tô đi lúc ban đầu là:
x 120
80

Thời gian ô tô đi lúc tăng vận tốc là: 
x 120
100

Theo đề bài ta có phương trình: 
x 120 x 120 x
1
80 100 40
 
   
Giải phương trình được x = 280 
Vậy quãng đường AB dài 280 km 
Câu 5. 
a) DB AB,CE AB  nên CE // DB 
DC AC,BF AC  nên DC // BF 
Tứ giác ABDC là hình bình hành, M là trung điểm BC nên M là trung điểm DH 
b) AE HL (a) 
EAL LCB (1) (góc nội tiếp cùng chắn cung) 
EHA đồng dạng KHC LCB HAB(2)   (K là giao điểm của AH và BC) 
Từ (1) và (2) suy ra AE là phân giác HAL (b) 
Từ (a) và (b) suy ra E là trung điểm HL. Vậy H, L đối xứng qua AB 
c) Kẻ tiếp tuyến từ A của đường tròn tâm (O) (3) 
TAC ABC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) 
Tứ giác EFCB nội tiếp 0ABC EFC 180   
L
K M
H
D
F
E
O
A
B
C
T
0EFC EFA 180  nên ABC AFE TAC  suy ra EF//AT (4) 
Từ (3) và (4) suy ra EF vuông góc với AO 
Câu 6. 
a) CD=CB, DF=BK, 0FDC CBK 90  nên DFC BKC CK CF     
b) Gọi H là chân đường cao kẻ từ C của tam giác CEF 
HEC BEC HE EB     
HFC BKC   nên FH = BK 
Cộng vế theo vế suy ra EF = EK 
Do HEC BEC CB CH     và EF CH 
Vậy tam giác EFC luôn tiếp xúc đường tròn cố định tâm C bán kính CH = 4 
c) 
DFC HFC HEC BEC
S S ;S S  
 CEF CDFEB AEF CEF
1 1
S S 16 S S 8
2 2
     
CEF
S lớn nhất bằng 8. Khi đó E A,F D.  
CD
A B KE
F
H