Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Quảng Bình lớp 12 THPT năm học 2011 - 2012 môn thi: Toán

www.vnmath.com 
www.vnmath.com 
 SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT 
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2011 - 2012 
 Môn thi: Toán - Vòng I 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 12 tháng 10 năm 2011) 
SỐ BÁO DANH:. Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) 
Câu 1:(3.0 điểm) Giải các phương trình sau: 
 a) sin 3 sin 2 sin
4 4
x x x             
 b)    2 23 2 9 3 ( 1) 2 2 4 0x x x x x        
Câu 2:(2.0 điểm) 
 Cho dãy số ( nu ) xác định như sau: 
1
20111
1
1 , , 1n n
n
u
u u n N n
u

     
 Tính 
2011 2011 2011
1 2
2 3 1
lim ... n
n
u u u
u u u 
     
Câu 3:(2.0 điểm) Cho , , 0a b c  thỏa mãn 3a b c   
 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 34P a b c   
Câu 4:(2.0 điểm) Cho tam giác ABC cố định nội tiếp đường tròn (O). P là một điểm di 
động trên cung BC không chứa A (P không trùng B, C). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu 
vuông góc của A trên đường thẳng PB, PC. 
 a) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 
 b) Xác định vị trí của điểm P sao cho AM.PB+AN.PC đạt giá trị lớn nhất. 
Câu 5:(1.0 điểm) Cho , yx là các số nguyên dương thoả mãn 
1
3


xy
xx
 là số nguyên 
dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương z sao cho x y z xyz   
--------------------HẾT---------------------- 
* Thí sinh không được sử dụng tài liệu. 
* Giám thị không giải thích gì thêm. 
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 Trang: 1 - Đáp án Toán - Vòng 1
 SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT 
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2011- 2012 
 Môn thi: Toán - Vòng I 
 (Khóa ngày 12 tháng 10 năm 2011) 
 HƯỚNG DẪN CHẤM 
(Đáp án, hướng dẫn này có 3 trang) 
yªu cÇu chung 
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập 
luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. 
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải 
sau có liên quan. 
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 
0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. 
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng 
bài. 
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài. 
Câu Nội dung Điểm 
1 
a) sin 3 sin 2 sin
4 4
x x x             sin3 cos3 sin 2 (sin cos )x x x x x    
sin2 cos cos2 sin (cos2 cos sin2 sin ) sin2 sin sin2 cosx x x x x x x x x x x x     
cos2 sin cos2 cos 0 cos2 (sin cos ) 0x x x x x x x      
cos2 0 ( )
4 2
x x k k Z       
0,25 
0,25 
0,5 
0,5 
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 Trang: 2 - Đáp án Toán - Vòng 1
b)    
   
2 2
2 2
3 2 9 3 ( 1) 2 2 4 0
3 2 (3 ) 3 ( 1) 2 ( 1) 3 (*)
x x x x x
x x x x
       
       
Xét hàm số :  2( ) 2 3f t t t   trên R. 
Ta có 
2
2
2
'( ) 2 3 0,
3
tf t t t R
t
       nên f đồng biến trên R. 
Do đó: (*)   1(3 ) 1 3 1
2
f x f x x x x        
0,5 
0,5 
0,5 
2 Ta có: 
2011
2011 2012 20121
1 1
1 1
1 11n nn n n n n n n
n n n n
u uu u u u u u u
u u u u

 
 
           
Suy ra: 
2011 2011 2011
1 2
2 3 1 1 1 1
1 1 1... 1n
n n n
u u u
u u u u u u  
       
Ta có: 20121 0n n nu u u    . Do đó ( nu ) là dãy số tăng. 
Giả sử 2012lim 0nu a a a a a      (vô lí vì 1a  ). 
Suy ra 
1
1lim lim 0n
n
u
u 
   
Vậy 
2011 2011 2011
1 2
2 3 1
lim ... n
n
u u u
u u u 
     
=1 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
3 Ta có:  33 3 21 ( ) ( ) 0
4
a b a b a b a b       (đúng) 
   3 33 3 3 3 31 14 4 3 4
4 4
P a b c a b c c c         
 Xét hàm số    3 31( ) 3 4 , 0;3
4
f c c c c    
Ta có    2 23 3'( ) 3 12 ; '( ) 0 (do 0;3 )
4 5
f c c c f c c c        
BBT 
c 0 3/5 3 
f’(c) - 0 + 
f(c) 27/4 108 
0,25 
0,25 
0,25 
0,5 
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 Trang: 3 - Đáp án Toán - Vòng 1
 108/25 
GTNN là P=108/25 khi a=b=6/5 và c=3/5 
Mặt khác  33 3 3 3 34 3 27 3 108P a b c a b c c c          
GTLN là P=108 khi a=b=0 và c=3 
0,25 
0,5 
N
M
H
O
B C
A
P 
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. H là điểm cố định. 
Ta chứng minh MN đi qua H. Thật vậy: 
Tứ giác AHMB nội tiếp. Suy ra 090BHM BAM ABM    
Tứ giác AHCN nội tiếp. Suy ra 090CHN CAN ACN    
Mặt khác ABM ACN  (do ABPC nội tiếp). Suy ra BHM CHN  
Do đó H thuộc MN hay MN đi qua điểm cố định H. 
0,25 
0,5 
0,25 
0,25 
4 
b) Ta có: AM.PB+AN.PC=2SABP+2SACP=2SABPC=2SABC +2SPBC 
AM.PB+AN.PC lớn nhất khi SPBC lớn nhất khi P là điểm chính giữa cung 
BC. 
0,5 
0,25 
5 
Theo thiết ta có : 
3 2 2
2 2
( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ( , 1) 1)
( 1 1) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1)
( ) ( 1) ( ( , 1) 1)
x x xy x x xy x xy do x xy
x xy xy x xy xy x x y xy
x y xy do x xy
         
          
    
  
  

Tồn tại một số *z N sao cho ( 1)x y z xy   , suy ra x y z xyz   
0,25 
0,5 
0,25 
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 Trang: 4 - Đáp án Toán - Vòng 1
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
www.vnmath.com 
 SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT 
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2011 - 2012 
 Môn thi: Toán - Vòng II 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 12 tháng 10 năm 2011) 
SỐ BÁO DANH:. Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) 
Câu 1:(2.0 điểm) 
 Tính các giới hạn sau: 
 a) 
 2 5
0
2011 1 5 2011
lim
x
x x
x
  
 b) 
0
1 cos cos2lim
sinx
x x
x x
 
Câu 2:(2.0 điểm) 
 Giải hệ phương trình: 
3 2 6 4
23 1 3 4
x xy y y
x y
       
Câu 3:(2.0 điểm) 
 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn 2 2 2 1a b c   . Chứng minh rằng: 
 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 3. 1 . 1 . 1 1a b c b c a c a b         
Câu 4:(2.5 điểm) 
 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a, các mặt bên tạo với mặt đáy góc có số 
đo bằng  . Mặt phẳng qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) cắt đường thẳng SD 
tại I. Gọi V là thể tích của khối chóp S.ABCD và V1 là thể tích của khối chóp D.ACI. 
 a) Chứng minh rằng đường thẳng SD vuông góc với mặt phẳng (ACI). 
 b) Tính tỷ số 1
1
V
V V theo  . 
Câu 5:(1.5 điểm) 
 Một số được gọi là số thú vị nếu số này có 8 chữ số đôi một khác nhau được thành 
lập từ tập {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} và số đó chia hết cho 1111. Hỏi có bao nhiêu số thú vị 
như thế? 
--------------------HẾT---------------------- 
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 Trang: 1 - Đáp án Toán - Vòng 2
 SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT 
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2011 - 2012 
 Môn thi: Toán - Vòng II 
 (Khóa ngày 12 tháng 10 năm 2011) 
 HƯỚNG DẪN CHẤM 
(Đáp án, hướng dẫn này có 3 trang) 
yªu cÇu chung 
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập 
luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. 
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải 
sau có liên quan. Ở câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0. 
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 
0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. 
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng 
bài. 
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài. 
Câu Nội dung Điểm 
1 
a) I = 
   52 5 5
0 0
2011 1 5 12011 1 5 2011
lim lim 1 5
x x
xx x
x x
x x 
          
 Ta có: 5
0
lim 1 5 0
x
x x    
        
        
5
4 3 20 0 5 5 5 5
4 3 20 5 5 5 5
2011 1 5 1 2011( 5 )lim lim
1 5 1 5 1 5 1 5 1
5.2011lim 2011
1 5 1 5 1 5 1 5 1
x x
x
x x
x x x x x x
x x x x
 

  
       
  
       
Vậy I = - 2011 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 Trang: 2 - Đáp án Toán - Vòng 2
b) J = 
 
0 0
1 cos cos 1 cos21 cos cos2lim lim
sin sinx x
x x xx x
x x x x 
    
Ta có: 
2
0 0 0
2sin sin1 cos 1 12 2lim lim lim .
sin sin 22cos
2 2
x x x
x x
x
x xx x x x  
    
      0 0 0
cos 1 cos2 cos 1 cos2 2cos sinlim lim lim 1
sin 1 cos2 sin 1 cos2x x x
x x x x x x
x x xx x x x  
     
Vậy J = 3
2
0,25 
0,25 
0,5 
2 ĐK: 1
3
x   
3 2 6 4
2
 (1)
3 1 3 4 (2) 
x xy y y
x y
       
Giải (1):
3
3 2 6 4 3(1) x xx xy y y y y
y y
           ( y=0 không là nghiệm 
của hệ phương trình với mọi x). 
 Xét hàm số 3( ) , f t t t t R   
2'( ) 3 1 0f t t t R     . Vậy hàm số đồng biến trên R. 
Ta có: 2( )x xf f y y x y
y y
         
Thay vào (2) ta có: 23 1 3 4 4 4 2 3 10 3 16x x x x x          
2
2 2
3
3 10 3 6 2 1
3 10 3 4 24 36
x
x x x x
x x x x
            
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; -1) hoặc (1; 1). 
0,25 
0,5 
0,5 
0,5 
0,25 
3 Ta có: 
2 2 2 2
2 23
2 2 2 2
2 2 2 23
1 1 11 1
3 3
. 1
3
b c b cb c
a b a ca b c a
        
    
Tương tự: 
0,5 
0,25 
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 Trang: 3 - Đáp án Toán - Vòng 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 23 3. 1 ; c . 1
3 3
b c b a c a c bb c a b a b c         
Do đó: 2 2 2 1VT a b c    (đpcm) 
Dấu bằng xảy ra khi 1
3
a b c   
0,5 
0,5 
0,25 
4 
a) Ta có AC(SBD)ACSD. 
Kẻ CH vuông góc AI tại H  CHSD (vì (ACD)(SAD)). Suy ra SD(ACI) 
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của CD  OMCD, 
SMCD  ((SCD), (ABCD)) (SM,OM) SMO   SMO   . 
Gọi a là độ dài cạnh đáy, suy ra 
2a tan a tan 2SO ,SD
2 2
   . 
Ta có SD(ACI) SDAI
2
2
2 2
DI OD 2OD DI.SD
SD SD tan 2
       
1
2
SACD
V DI 2
V DS tan 2
    
21 1
SABCD SACD 2 2
1
V V1 1V 2V cos
V tan 2 V V tan 1
           
0,5 
0,25 
0,5 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
S
DA
B C 
O
M 
I H
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 Trang: 4 - Đáp án Toán - Vòng 2
5 Giả sử 1 2 3 4 1 2 3 4n a a a a b b b b là một số thú vị. 
Do các chữ số khác nhau nên n là một hoán vị của các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8. Tổng các số này bằng 36 nên n chia hết cho 9. 
Do 9 và 1111 có ước số chung lớn nhất là 1 nên n chia hết cho 9999. 
Đặt 1 2 3 4 1 2 3 4; x a a a a y b b b b  , ta có: 4.10 9999 ( )n x y x x y     chia hết 
cho 9999 nên (x+y) chia hết cho 9999. 
Ta có 0 2.9999 9999x y x y      
Do đó 1 1 2 2 3 3 4 4 9a b a b a b a b        
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có 4 cặp (1; 8), (2; 7), (3; 6), (4; 5). Số hoán 
vị của 4 cặp này là 4! Với mỗi cặp ta có 2 cách chọn . 
Vậy số các số thú vị là 44!.2 384 
0,5 
0,5 
0,5 
www.VNMATH.com