Đề thi chọn học sinh giỏi Huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Kim Thành (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO 
TẠO HUYỆN KIM THÀNH 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 
Môn: Toán 9 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Đề gồm 01 trang 
Bài 1: (4,0 điểm) 
a) Rút gọn biểu thức A = 
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
x x x x
  
 
   
b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1. 
Hãy tính giá trị biểu thức: A = 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
(1 ) (1 ) (1 )
y z z x x y
x y z
x y z
     
 
  
Bài 2: (3,0 điểm) 
a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 
Tính f(a) tại a = 3 316 8 5 16 8 5   
b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương? 
Bài 3: (4,0 điểm) 
Giải các phương trình sau: 
a) 1 4 3x x    
b) 2 4 5 2 2 3x x x    
Bài 4: (3,0 điểm) 
a) Tìm x; y thỏa mãn:  2 4 4x y y x xy    
b) Cho a; b; c là các số thuộc đoạn  1;2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng 
minh rằng: 
a + b + c  0 
Bài 5: (6,0 điểm) 
Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H. 
a) Chứng minh: 
2 2 2
2 2 2
KC AC CB BA
KB CB BA AC
 

 
b) Giả sử: HK = 
1
3
AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 
c) Giả sử SABC = 120 cm
2
 và BÂC = 60
0. Hãy tính diện tích tam giác ADE? 
TRƯỜNG THCS THƯỢNG VŨ 
Tổ KHTN 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH 
NĂM HỌC 2012 – 2013 
Môn: Toán 9 
Thời gian: 120’ 
Câu 1: (4 điểm) 
a/ Rút gọn biểu thức A = 
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
x x x x
  
 
   
ĐKXĐ: x  4; x  9 
A = 
        
2 9 3 2 1 2 9 9 2 3 2 2
2 32 3 2 3 2 3
x x x x x x x x x
x xx x x x x x
          
   
      
= 
  
  
1 2 1
32 3
x x x
xx x
  

 
b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1. 
Hãy tính: A = 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
(1 ) (1 ) (1 )
y z z x x y
x y z
x y z
     
 
  
Gợi ý: xy + yz + xz = 1  1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x 
+ z)(x + y) 
Tương tự: 1 + y2 = ; 1 + z2 = . 
Câu 2: (3 điểm) 
a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 
Tính f(a) tại a = 3 316 8 5 16 8 5   
b/ Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương? 
Giải 
a/Từ a= 3 316 8 5 16 8 5   
  3 3 3332 3 16 8 5 16 8 5 16 8 5 16 8 5 32 12a a             nên a
3
 + 12a = 
32 
Vậy f(a) = 1 
b/ Giả sử: n2 + 17 = k2 (k  ) và k > n (k – n)(k + n) = 17 
1
8
17
k n
n
k n
 
 
 
Vậy với n = 8 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Câu 3: (4 điểm) 
Giải các phương trình sau: 
a/ 1 4 3x x    
b/ 2 4 5 2 2 3x x x    
Giải 
a/ ĐK: 4 1x   
Bình phương 2 vế: 1 4 2 (1 )(4 ) 9 (1 )(4 ) 2x x x x x x           
2
0
4 3 4 ( 3) 0
3
x
x x x x
x

          
(thỏa mãn) 
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 0; x = -3 
b/ 2 4 5 2 2 3x x x    ĐKXĐ: x 
3
2

 
   2 2 1 2 3 2 2 3 1 0x x x x         
    
22 1 0
1 2 3 1 0 1
2 3 1
x
x x x
x
 
        
 
 vậy phương trình có nghiệm 
duy nhất x = -1 
Câu 4: (3 điểm) 
a/ Tìm x; y thỏa mãn:  2 4 4x y y x xy    
b/ Cho a; b; c là các số thuộc đoạn  1;2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng 
minh rằng: a + b + c  0 
Giải 
a/  2 4 4 .2. 4 .2. 4x y y x xy x y y x xy         
Xét VP = .2. 4 .2. 4x y y x   theo BĐT cosi: 
4 4 4 4
2 4 ;2 4
2 2 2 2
y y x x
y x
   
      vậy VP  xy = VT 
Dấu = xảy ra khi: 
4 2
8
4 2
x
x y
y
  
  
 
b/ Do a; b; c thuộc đoạn  1;2 nên a + 1  0; a – 2  0 nên (a + 1)(a – 2)  0 
Hay: a
2
 – a – 2  0  a2  a + 2 
Tương tự: b2  b + 2; c2  c + 2 
Ta có: a
2
 + b
2
 + c
2
  a + b + c + 6 theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = 6 nên: a + b + c  
0 
Câu 5: (6 điểm) 
Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H. 
a/ Chứng minh: 
2 2 2
2 2 2
KC AC CB BA
KB CB BA AC
 

 
b/ Giả sử: HK = 
1
3
AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 
c/ Giả sử SABC = 120 cm
2
 và BÂC = 60
0. Hãy tính diện tích tam giác ADE? 
Giải 
a/ Sử dụng định lý pytago: 
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )
( ) ( )
AC CB BA AK KC BK CK AB
CB BA AC BK CK BA AK KC
     

     
= 
2
2
2 2 . 2 ( )
2 2 . 2 ( )
CK BK CK CK CK BK CK
BK BK CK BK BK CK BK
 
 
 
b/ Ta có: tanB = 
AK
BK
; tanC = 
AK
CK
Nên: tanBtanC = 
2
.
AK
BK CK
(1) 
Mặt khác ta có: B HKC mà: tanHKC = 
KC
KH
Nên tanB = 
KC
KH
 tương tự tanC = 
KB
KH 2
.
tan .tan
KB KC
B C
KH
  (2) 
Từ (1)(2)  
2
2
tan .tan
AK
B C
KH
 
   
 
Theo gt: HK = 
1
3
AK tan .tan 3B C  
c/ Ta chứng minh được: ABC và ADE đồng dạng vậy: 
2
ABC
ADE
S AB
S AD
 
  
 
(3) 
Mà BÂC = 60
0
 nên 030ABD  AB = 2AD(4) 
Từ (3)(4) ta có: 24 30( )ABC ADE
ADE
S
S cm
S
   
H
E
D
K
C
B
A