Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Vĩnh Bảo (Có đáp án)

UBND HUYỆN 
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO 
HUYỆN VĨNH BẢO 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN 
NĂM HỌC 2013-2014 
MÔN: TOÁN LỚP 9 
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề 
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: 
x y x y x y 2xy
P : 1
1 xy1 xy 1 xy
     
           
. 
a) Rút gọn biểu thức P. 
b) Tính giá trị của P với 
2
x
2 3


. 
Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là 
đồ thị của hai hàm số: 
1 3
y x
2 2
   và y x . 
a) Vẽ đồ thị (D) và (L). 
b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giác vuông. 
Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 4 3 26x 5x 38x 5x 6 0     . 
Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một 
đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I. 
Chứng minh rằng: 
2 2 2
1 1 1
AM AI a
  . 
Bài 5: (6 điểm) 
Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO/ cắt 
đường tròn ( O ) và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. 
Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F  ( O/ ). Gọi M là giao điểm của 
AE và DF; N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng: 
a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật. 
b) MN AD. 
c) ME.MA = MF.MD. 
---------- Hết ---------- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
UBND HUYỆN 
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO 
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN 
NĂM HỌC 2013-2014-MÔN: TOÁN LỚP 9 
Bài Đáp án Điểm 
1 ĐKXĐ: x 0;y 0;xy 1   . 0,5 đ 
a) Mẫu thức chung là 1 – xy 
( x y)(1 xy) ( x y)(1 xy) 1 xy x y 2xy
P :
1 xy 1 xy
        

 
x x y y y x x x y y y x 1 xy
.
1 xy 1 x y xy
       

   
2( x y x) 2 x(1 y) 2 x
(1 x)(1 y) (1 x)(1 y) 1 x
 
  
    
0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
b) 
22 2(2 3)x 3 2 3 1 ( 3 1)
4 32 3

      

2x ( 3 1) 3 1 3 1      
2
2( 3 1) 2 3 2
P
1 ( 3 1) 1 3 2 3 1
2( 3 1) 6 3 2
P
135 2 3
 
  
    
 
 

0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
2 
a) Đồ thị 
1 3
y x
2 2
   có : 
3
x 0 y
2
y 0 x 3

  

   
Đồ thị 
x khi x 0
y x
x khi x 0

  
 
Đồ thị như hình vẽ: 
0,5 đ 
0,5 đ 
1 đ 
b) Đồ thị (D) và (L) cắt nhau tại hai điểm có tọa độ M(1; 1) và N( - 3; 3) 0,5 đ 
Ta có: OM = 2 21 1 2   OM
2
 = 2 
 ON = 2 23 ( 3) 3 2    ON
2
 = 18 
 MN = 2 2(1 3) (1 3) 20     MN
2
 = 20 
Vì: OM
2
 + ON
2
 = MN
2
Vậy: tam giác OMN vuông tại O 
0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
3 Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình 
Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được: 
2
2
5 6
6x 5x 38 0
x x
     
2
2
1 1
6(x ) 5(x ) 38 0
x x
      
Đặt 
1
y x
x
  thì: 2 2
2
1
x y 2
x
   
Ta được pt: 6y2 – 5y – 50 = 0 (3y – 10)(2y + 5) = 0 
Do đó: 
10 5
y và y
3 2
   
* Với 
10
y
3
 thì: 2
1 10
x 3x 10x 3 0
x 3
      
 (3x – 1)(x – 3) = 0 1
2
1
x
3
x 3




* Với 
5
y
2
  thì: 2
1 5
x 2x 5x 2 0
x 2
       
 (2x + 1)(x + 3) = 0 3
4
1
x
2
x 2

 

 
1 đ 
1 đ 
1 đ 
1 đ 
4 
 Vẽ Ax  AI cắt đường thẳng CD tại J. 
Ta có AIJ vuông tại A, có AD là đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên: 
2 2 2
1 1 1
AD AJ AI
  (1) 
Xét hai tam giác vuông ADJ và ABM, ta có: 
 AB = AD = a; DAJ BAM (góc có cạnh tương ứng vuông góc) 
0,5 đ 
0,5 đ 
J
M
CD I
BA
 ADJ = ABM   . Suy ra: AJ = AM 
Thay vào (1) ta được: 
2 2 2 2
1 1 1 1
AD AM AI a
   (đpcm) 
0,5 đ 
0,5 đ 
5 
a) Ta có 
0AEB CFD 90  (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) 
Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O/), nên: 
OE  EF và OF  EF => OE // O/F 
=> /EOB FO D (góc đồng vị) => /EAO FCO 
Do đó MA // FN, mà EB  MA => EB  FN 
Hay 
0ENF 90 . 
Tứ giác MENF có OE N F 90   , nên MENF là hình chữ nhật 
0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
b) Gọi I là giao điểm của MN và EF; H là giao điểm của MN và AD 
Vì MENF là hình chữ nhật, nên IFN INF 
Mặt khác, trong đường tròn (O/): 
1
IFN FDC sđ FC
2
  
=> FDC HNC 
Suy ra FDC  đồng dạng HNC (g – g) 
=> 
ONHC DFC 90  hay MN  AD 
0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
c) Do MENF là hình chữ nhật, nên MFE FEN 
Trong đường tròn (O) có: 
1
FEN EAB sđ EB
2
  
=> MFE EAB 
Suy ra MEF đồng dạng MDA (g – g) 
=>
ME MF
MD MA
 , hay ME.MA = MF.MD 
0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
H
D
E
M
F
O
I
N
O /
B C
A