Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT môn Toán (Kì thứ hai) - Năm học 2014-2015 - Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT
Kỳ thi thứ hai - Năm học 2014 – 2015
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 26/11/2014
(Thời gian 180 phút không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 5 câu, trong 01 trang
Câu 1 (4,0 điểm):
Cho hàm số có đồ thị . Lập phương trình tiếp tuyến của , biết tiếp tuyến cắt trục lần lượt tại ( không trùng ) thỏa mãn .
Cho hàm số . Tìm để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại .
Câu 2 (4,0 điểm):
Giải phương trình: .
Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (4,0 điểm):
Tìm số hạng chứa trong khai triển Niu–tơn , biết là số nguyên dương thỏa mãn 
Cho là hàm đa thức thỏa mãn . 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập hợp 
 .
Câu 4 (6,0 điểm):
Cho hình chóp tứ giác đều cạnh bên bằng . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . 
Tính thể tích của hình chóp theo và .
Mặt phẳng qua và vuông góc với mặt phẳng chia hình chóp thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó.
Cho hình chóp có , , các cạnh còn lại có độ dài bằng 1. Tìm biết thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất. 
Câu 5 ( 2,0 điểm): Tìm số hạng tổng quát của dãy số biết 
--------- HẾT ---------
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh ..........................................................
Họ và tên, chữ ký:	Giám thị 1:...............................................................................................................
Giám thị 2:...............................................................................................................
SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT
Kỳ thi thứ hai - Năm học 2014 – 2015
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 26/11/2014
 (Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1.1
(2,0 điểm)
+ Gọi là điểm thuộc .
+ PTTT của tại điểm là .
0,5
+ Theo giả thiết 
0,25
 Hệ số góc của đường thẳng bằng hoặc .
0,25
+ Từ (1) và (2) suy ra 
0,5
+ Với Phương trình tiếp tuyến là 
0,25
+ Với Phương trình tiếp tuyến là và .
0,25
1.2
(2,0 điểm)
Ta có 
Hàm số có cực đại , cực tiểu thì có hai nghiệm phân biệt 
.
0,5
Khi đó có hai nghiệm Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là và 
0,5
Tam giác vuông tại 
0,5
0,25
Kiểm tra ta thấy với luôn tồn tại tam giác nên đó là giá trị cần tìm.
0,25
2.1
(2,0 điểm)
Điều kiện: 
0,25
0,25
Trang 1/4
0,5
0,25
0,5
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: 
0,25
2.2
(2,0 điểm)
Từ các phương trình trong hệ ta thấy điều kiện có nghiệm của hệ là .
0,5
Trường hợp 1. Với 
 là nghiệm của hệ.
0,25
Trường hợp 2. Với 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 
Tương tự, 
Từ (1) và (2) suy ra 
0,5
Dấu bằng xảy ra ở (1) và (2) khi 
Tương tự, suy ra là nghiệm của hệ.
0,5
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm , .
0,25
3.1
(2,0 điểm)
Xét khai triển Niu–tơn 
 (1)
0,25
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta có
 (2)
0,25
Thay , lần lượt vào trong (2) ta có
 (3)
 (4)
0,25
Cộng (3), (4) theo vế ta có 
0,25
Từ giả thiết bài toán suy ra (*)
Với là nghiệm của phương trình (*)
Với thì 
Với thì 
Trang 2/4
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất .
0,5
Khi đó, số hạng tổng quát của khai triển là .
0,25
Vậy số hạng chứa là 
0,25
3.2
(2,0 điểm)
Ta có .
Từ thay bởi ta được
.
0,5
Từ và ta giải được .
0,5
Ta có 
Suy ra .
0,25
Xét hàm số trên tập ; hoặc .
0,25
Mặt khác .
Vậy .
0,5
4.1
(4,5 điểm)
a) ( 2,5 điểm)
+ Gọi là tâm của hình vuông .
+ Vì là hình chóp đều nên 
0,25
+ Học sinh lập luận được 
0,5
+ Trong tam giác vuông , ta có 
0,5
Ta có 
0,25
0,5
0,5
b) (2,0 điểm)
+ Vì là hình vuông nên (1) 
+ Gọi là hình chiếu vuông góc của lên (2)
Trang 3/4
Từ (1) và (2) .
0,5
+ 
0,5
+ 
0,5
0,5
4.2
(1,5 điểm)
+ Gọi lần lượt là trung điểm của 
+ Tam giác cân tại , tam giác cân tại và .
.
0,25
+ Ta có  ; 
0,25
+ Vậy 
0,25
+ Ta có 
0,5
Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn)
0,25
5
(2,0 điểm)
+ Với mọi , ta có 
0,5
0,5
+ Đặt , . 
Ta có dãy xác định bởi 
0,5
0,5
Trang 4/4
----------- Hết -----------