Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT môn Toán (Lần 1) - Năm học 2011-2012 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Đề 1) (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT (Lần 1)
Năm học: 2011 – 2012
MÔN: TOÁN 
Ngày thi thứ nhất 11/10/2011
(Thời gian 180 phút không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang
Câu 1 (7 điểm) 
	a) Giải hệ phương trình sau: 
	b) Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo tham số m: 
Câu 2 (4 điểm)
	Cho dãy số (un) xác định bởi công thức . Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn hữu hạn.
Câu 3 (5 điểm) 
	Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, gọi M là trung điểm của cạnh BC. Điểm X thay đổi trên cung nhỏ AM của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM, lấy điểm T thuộc miền trong của góc sao cho và XT = XB. 
	Chứng minh rằng: Hiệu không phụ thuộc vào vị trí điểm X.
Câu 4 (4 điểm)
	Bạn Duy đặt tên các đỉnh của một hình lập phương một cách tùy ý là , bạn Hiển đặt tên các đỉnh của hình lập phương đó một cách tùy ý là . Chứng minh rằng luôn tồn tại ba số i, j, k đôi một phân biệt thuộc tập hợp {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} sao cho tam giác có ba đỉnh là và tam giác có ba đỉnh là bằng nhau.
------ HẾT ------
Họ và tên thí sinh:...........................................; Số báo danh.....................................
Chữ kí giám thị 1:.......................................; Chữ kí giám thị 2:................................