Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT môn Toán (Lần 1) - Năm học 2011-2012 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Đề 2) (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT (Lần 1)
Năm học: 2011 – 2012
MÔN: TOÁN 
Ngày thi thứ hai 12/10/2011
(Thời gian 180 phút không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang
Câu 1 ( 5 điểm)
	Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: 
Câu 2 (5 điểm) 
	Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn (a,b,c) = 1. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho với mọi số tự nhiên k. 
Câu 3 (5 điểm)
	Cho hai đa thức với hệ số nguyên dương P(x), Q(x) và hai số nguyên dương a, b thỏa mãn: a < b, P(a) = Q(a), P(b) = Q(b). Chứng minh rằng: Nếu tất cả các hệ số của P(x) đều nhỏ hơn b thì P(x) = Q(x) với mọi số thực x.	
Câu 4 (5 điểm) 
	Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AD. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tâm O tại D, cắt đường thẳng BC tại I. Đường thẳng qua I và O cắt các đường thẳng AB, AC thứ tự tại M, N. 
	Chứng minh rằng OM = ON.
------ HẾT ------
Họ và tên thí sinh:...........................................; Số báo danh.....................................
Chữ kí giám thị 1:.......................................; Chữ kí giám thị 2:................................