Đề thi chọn học sinh giỏi Lớp 12 THPT môn Toán - Năm học 2010-2011 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Vòng 2) (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
Năm học: 2010 – 2011
MÔN TOÁN (VÒNG 2)
Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 04 câu, 01 trang
Câu 1 (7 điểm)
 a) Giải phương trình: 
 b) Giải hệ phương trình : 
 c) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 4. Chứng minh rằng:
Câu 2 (6 điểm)
 a) Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số thực thỏa mãn P(x + y) = P(x) + P(y) – xy – 1 với mọi cặp giá trị x, y thuộc R. 
 b) Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp số nguyên dương m, n thỏa mãn cũng là các số nguyên dương.
Câu 3 (4 điểm) 
 Cho đường tròn (C) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB thứ tự tại D, E, F. Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD và đường tròn (C), gọi N, P thứ tự là giao điểm thứ hai của MB và MC với đường tròn (C). Chứng minh rằng ba đường thẳng MD, NE, PF đồng quy tại một điểm.
Câu 4 (3 điểm)
 Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn , chứng minh rằng:
-------------------Hết------------------
Họ và tên thí sinh: ...Số báo danh:..
Giám thị 1: Họ và tên:Chữ kí:.
Giám thị 2: Họ và tên:Chữ kí:.