Đề thi chọn học sinh giỏi Lớp 12 THPT môn Toán - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Đề 1) (Có đáp án)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SỞ GDĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT 
Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2012 – 2013
MÔN: TOÁN
Ngày thi 09/10/2012
(Thời gian làm bài 180 phút)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang
Câu 1 (5 điểm):
Giải hệ phương trình: 
Câu 2 (5 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi P, Q lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABH và ACH. Các đường thẳng AP, AQ lần lượt cắt BC tại D và E. Chứng minh rằng đường thẳng AH, DQ, EP đồng quy tại một điểm.
Câu 3 (6 điểm):
Cho phương trình (ẩn x, tham số n nguyên dương):
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n phương trình có 1 nghiệm dương duy nhất, kí hiệu nghiệm đó là .
b) Chứng minh rằng . 
Câu 4 (4 điểm):
Cho tập Sn = {1; 2; 3;; n} với n là số nguyên dương lớn hơn 2. Có bao nhiêu cách chia tập Sn thành ba tập con khác rỗng (hợp với nhau bằng Sn và đôi một giao với nhau bằng rỗng) sao cho mỗi tập con không chứa hai số nguyên liên tiếp?
HẾT
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:..........................................................................
Giám thị 2:..........................................................................