Đề thi chọn học sinh giỏi Lớp 12 THPT môn Toán - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Đề 2) (Có đáp án)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SỞ GDĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT 
Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2012 – 2013
MÔN: TOÁN
Ngày thi 10/10/2012
(Thời gian làm bài 180 phút)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang
Câu 1 (5 điểm):
Cho các số thực x, y, z, t thoả mãn: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = (x – z)(y – t).
Câu 2 (5 điểm):
Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên dương. 
Câu 3 ( 5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao AM, BN. Điểm D trên cung không chứa A của đường tròn (O) và khác B, C. Hai đường thẳng DA và BN cắt nhau tại Q, hai đường thẳng DB và AM cắt nhau tại P. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh rằng ba điểm M, N, I thẳng hàng.
Câu 4 (5 điểm):
Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện:
 với mọi .
HẾT
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:..........................................................................
Giám thị 2:..........................................................................