Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT môn Toán - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Vòng 1) (Có đáp án)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT 
Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2013 – 2014
MÔN: TOÁN
Ngày thi 08/10/2013
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang
Câu 1 (5 điểm):
Giải hệ phương trình: 
Câu 2 (6 điểm):
Cho phương trình: (ẩn x, tham số n nguyên dương).
a) Chứng minh rằng: Với mỗi số nguyên dương n phương trình có duy nhất một nghiệm dương. Kí hiệu nghiệm đó là xn.
b) Tìm giới hạn của dãy số xn khi 
Câu 3 (5 điểm):
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R; điểm D thuộc cung BC không chứa A của đường tròn tâm O, bán kính R; gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên BC, AC, AB. 
Xác định vị trí điểm D sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 4 (4 điểm):
Cho các số nguyên dương n, k thỏa mãn n + 1 ≥ 2k. Có bao nhiêu tập con gồm k phần tử của tập hợp n số nguyên dương đầu tiên mà không chứa 2 số liên tiếp?
HẾT
Họ và tên thí sinh:....................................................... Số báo danh:............................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:..........................................................................
Giám thị 2:..........................................................................