Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT môn Toán - Năm học 2014-2015 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Đề 1) (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT 
Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2014 – 2015
MÔN: TOÁN
Ngày thi 07/10/2014
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang
Câu 1 (5,0 điểm):
Giải hệ phương trình: 
Câu 2 (5,0 điểm):
Cho dãy số xác định bởi hệ thức:
 a) Chứng minh rằng chia hết cho .
 b) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho chia hết cho 
Câu 3 (6,0 điểm):
Cho tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E, F, I tương ứng là giao điểm của các đường thẳng AB và CD, AD và BC, AC và BD. Đường phân giác của các góc và cắt nhau tại H. Gọi K là điểm chung thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng:
a) Ba điểm thẳng hàng. 
b) Bốn điểm nằm trên một đường tròn.
Câu 4 (4,0 điểm):
Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn:
.
------ HẾT ------
Họ và tên thí sinh:....................................................... Số báo danh:.................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:...........................................................................................
Giám thị 2:..........................................................................................