Đề thi chọn học sinh giỏi Lớp 9 môn Toán - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2013 – 2014
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 15/3/2014
(Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
Câu 1 (6,0 điểm):
a) Rút gọn biểu thức: 
b) Giải phương trình: 
c) Giải hệ phương trình: 
Câu 2 (3,0 điểm):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y = mx – 2 và parabol (P) có phương trình y = . Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm các giá trị của m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. 
Câu 3 (2,0 điểm):
Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn 
Chứng minh rằng:	.
Câu 4 (6,0 điểm):
Cho đường tròn tâm O đường kính MN, dây cung AB vuông góc với MN tại điểm I nằm giữa O, N. Gọi K là một điểm thuộc dây AB nằm giữa A, I. Các tia MK, NK cắt đường tròn tâm O theo thứ tự tại C, D. Gọi E, F, H lần lượt là hình chiếu của C trên các đường thẳng AD, AB, BD. Chứng minh rằng: 
a) 
b) F là trung điểm của EH
c) Hai đường thẳng DC và DI đối xứng với nhau qua đường thẳng DN.
Câu 5 (3,0 điểm):
Cho n và k là các số tự nhiên, .
a) Tìm k, n để A là số nguyên tố.
b) Chứng minh rằng: 
 + Nếu n không chia hết cho 5 thì A chia hết cho 5.
 + Với p là ước nguyên tố lẻ của A ta luôn có p – 1 chia hết cho 4.
HẾT
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .......................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:..................................................................................................
 Giám thị 2:..................................................................................................