Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2018-2019 - Môn: TOÁN
Ngày thi: 13/3/2019
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1 (4,0 điểm). 
1. Gọi là 3 nghiệm của phương trình . Tính giá trị biểu thức .
2. Rút gọn biểu thức với , , . 
Câu 2 (4,0 điểm).
1. Giải hệ phương trình .
2. Giải phương trình . 
Câu 3 (4,0 điểm).
1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình .
2. Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 4 (6,0 điểm).
1. Qua điểm M nằm trong tam giác ABC kẻ , , (; ; ). Biết diện tích các tam giác MPE, MQD, MKF lần lượt là với là các số thực dương. Tính diện tích tam giác ABC theo .
2. Cho tam giác cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O. M là điểm bất kỳ trên dây (M khác B, M khác C). Vẽ đường tròn tâm D đi qua M và tiếp xúc với AB tại B, vẽ đường tròn tâm E đi qua M và tiếp xúc với tại C. Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn và .
a) Chứng minh rằng tứ giác ABNC là tứ giác nội tiếp. Từ đó chứng minh điểm N thuộc đường tròn và ba điểm A, M, N thẳng hàng. 
b) Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn thẳng DE luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm M di động trên dây BC.
Câu 5 (2,0 điểm).
1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố sao cho .
2. Cho 8 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 210. Chứng minh rằng trong 8 đoạn thẳng đó luôn tìm được 3 đoạn thẳng để ghép thành một tam giác.
(Lưu ý: thí sinh được sử dụng máy tính cầm tay không có thẻ nhớ
và không có chức năng soạn thảo văn bản)
------HẾT------
Họ và tên thí sinh:..................................................... Số báo danh:...............................................
Họ và tên, chữ ký:
Giám thị 1:..................................................................................................
Giám thị 2:..................................................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2018-2019
Môn: Toán - Ngày thi 13/3/2019
 (Hướng dẫn chấm này gồm 06 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
(4,0)
1. (2,0 điểm)
.
Phương trình (*) có nên có 2 nghiệm phân biệt.
Không mất tổng quát coi thì là 2 nghiệm của (*).
Ta có 
Ta có .
Theo Viet ta có .
Thay số: .
Thay số: .
2. (2,0 điểm)
2
(4,0)
1. (2,0 điểm)
.
Với , thay vào (2) được: .
Với , thay vào (2) được: 
Đặt, phương trình trở thành:
Phương trình có nên vô nghiệm.
Do đó 
Với Với 
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:
2. (2,0 điểm)
Phương trình xác định khi . 
Phương trình đã cho tương đương với
.
.
Vậy (tmđk). 
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
3
(4,0)
1. (2,0 điểm)
Vì là các số chính phương nên cũng là số chính phương. 
Do đó đặt 
Ta có là các ước số của ; không âm nên là số âm.
Suy ra hoặc .
TH1: .
Với (loại). 
Với 
TH2: (loại). 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên 
2. (2,0 điểm)
Áp dụng bất đẳng thức với và . 
Đẳng thức xảy ra khi . 
(Học sinh không cần chứng minh – theo công văn 1234/SGDĐT-GDTrH ngày 19/10/2018 của Sở GDĐT Ninh Bình). 
Ta có 
Học sinh chứng minh với : .
Suy ra 
. Dấu "=" xảy ra khi . 
Vậy khi .
4
(6,0)
1. (2,0 điểm)
Đặt . 
Tứ giác có (giả thiết) là hình bình hành
. Chứng minh tương tự ta có .
Ta có EPM #ABC nên . 
.
Chứng minh tương tự, ta có: + DMQ # ABC nên ; 
+ MKF # ABC nên .
2. (4,0 điểm)
a. (3,0 điểm)
Trong có (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn ).
Trong có (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn ).
Do đó 
 (tổng ba góc trong một tam giác)
 Tứ giác nội tiếp .
 thuộc đường tròn do nội tiếp đường tròn .
Tứ giác nội tiếp nên (hai góc nội tiếp cùng chắn ).
Mà (do cân tại ) 
nên hay .
Từ suy ra 
 Ba điểm thẳng hàng.
b. (1,0 điểm)
Vẽ đường kính của đường tròn tâm . Gọi là giao điểm của và .
 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm ), (vì đường tròn tâm tiếp xúc với tại ) thẳng hàng. 
Chứng minh tương tự: thẳng hàng.
Ta có: thuộc đường trung trực của 
 cân tại 
cân tại D (vì )
 cân tại E (vì )
.
 Tứ giác là hình bình hành. 
Mà là trung điểm của nên là trung điểm của .
 vuông tại có là đường trung tuyến .
cố định nên thuộc đường thẳng cố định là đường trung trực của đoạn .
5
(2,0)
1. (1,0 điểm)
Không mất tổng quát giả sử .
Với : 
Do là ước của nên . 
Nếu (loại). 
Nếu (thỏa mãn). 
Nếu p lẻ lẻ mà không chia hết cho 4 Vô lý. 
Vậy bộ ba số nguyên tố cần tìm là và các hoán vị.
2. (1,0 điểm)
Ta xếp các đoạn thẳng theo thứ tự có độ dài tăng dần .
Nếu tồn tại 3 đoạn thẳng thoả mãn thì ba đoạn thẳng này có thể ghép thành tam giác.
Giả sử ngược lại 
Khi đó, theo giả thiết:
, mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy tồn tại 3 đoạn thẳng mà . 
Do đó tồn tại 3 đoạn thẳng để có thể ghép thành tam giác.
---Hết---