Đề thi chọn học sinh giỏi môn thi giải Toán trên máy tính cầm tay Lớp 9 - Ngày thi 9-12-2014 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN THI: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi gồm 07 câu, 02 trang)
Ngày thi 09 tháng 12 năm 2014
Câu 1 (3.0 điểm)
a) Tính giá trị của các biểu thức sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 6 sau dấu phẩy): 
Câu 2 (2.0 điểm)
a) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để: 
(1 + 1)(2 + 22)(3 + 32)...(n + n2) > 7620042014
b) Tìm chữ số thập phân thứ 2014 khi chia 1 cho 51
Câu 3 (2.0 điểm) 
Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 3; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33; P(5) = 50. 
a) Chứng minh rằng: 1; 2; 3; 4 là 4 nghiệm của đa thức P(x) – A(x); trong đó A(x) = 2x2 + 1
b) Tìm nghiệm thứ 5 của đa thức P(x) – A(x). Từ đó tính P(6) và P(7).
Câu 4 (2.0 điểm)
Bác Nam gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 20 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,72%/tháng. Sau một năm, bác Nam rút cả vốn lẫn lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78%/tháng. Gửi đúng một số kỳ hạn 6 tháng và thêm một số tháng nữa thì bác Nam phải rút tiền trước kỳ hạn để sửa chữa nhà được số tiền là 29451583,0849007 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bác Nam gửi bao nhiêu kỳ hạn 6 tháng, bao nhiêu tháng chưa tới kỳ hạn và lãi suất không kỳ hạn mỗi tháng là bao nhiêu tại thời điểm rút tiền? Biết rằng gửi tiết kiệm có kỳ hạn thì cuối kỳ hạn mới tính lãi và gộp vào vốn để tính kỳ hạn sau, còn nếu rút tiền trước kỳ hạn, thì lãi suất tính từng tháng và gộp vào vốn để tính tháng sau. Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải.
Câu 5 (3.0 điểm)
Cho 
(i =1 nếu n lẻ, i = -1 nếu n chẵn, n là số nguyên, )
a) Tính chính xác dưới dạng phân số các giá trị .
b) Viết quy trình bấm phím để tính giá trị của .
c) Tính giá trị gần đúng .
Câu 6 (5.0 điểm) 
1) Cho tam giác ABC, đường cao AH. Trong các hình chữ nhật có hai đỉnh nằm trên cạnh BC và hai đỉnh còn lại nằm trên hai cạnh AB và AC. 
a) Đặt BC = a; AH = h và 2 cạnh của hình chữ nhật là x, y. Tính y theo a, h, x.
b) Hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Tính diện tích hình chữ nhật đó khi BC = 20,111982 cm và đường cao AH của tam giác ABC bằng 20,112012 cm (kết quả lấy 10 chữ số thập phân).
2) Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 2cm. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho =450. Hai tia CM và CN cắt đường chéo BD theo thứ tự tại K và Q. Gọi I là điểm thuộc đoạn MN sao cho NI = ND. Tìm diện tích lớn nhất của tam giác IQK? 
Câu 7 (3.0 điểm) 
a) Tìm chữ số thập phân thứ 999 sau dấu phẩy của (yêu cầu trình bày cách giải).
	b) Cho . Tìm giá trị bé nhất của biểu thức (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ 14 sau dấu phẩy).
 .	
------------- Hết-------------
SBD: ................... Họ và tên thí sinh: ....................................................................................
Giám thị 1: ................................................... Giám thị 2: ......................................................
PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN THI: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
(Hướng dẫn chấm gồm 07 câu, 04 trang)
Câu 
Ý
Nội dung
Điểm TP
Tổng điểm
1
a
2725088015
1
3
b
2174,941611
1
c
Đặt x = 9,122014 khi đó
B = 
 = 
 = 
 =. Khi đó ta thay x = 9,122014 ta được KQ: B = 0,011875
0.25
0.25
0.25
0.25
2
a
- Nhập vào màn hình: 2 A; 1 M
M = M + 1 : A = A(M + M2) : B = A - 7620042014
- Quy trình bấm phím:
2 SHIFT STO A
1 SHIFT STO M
ALPHA M ALPHA = ALPHA M + 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA
= ALPHA A ( ALPHA M + ALPHA M x2 ALPHA : ALPHA B
ALPHA = ALPHA A - 7620042014 = = =
- Nhấn liên tiếp dấu = cho đến khi B có giá trị âm đầu tiên thì dừng lại
- Ta tìm được n = 8.
0.25
0.25
0.25
0.25
2
b
Khi chia 1 cho 51 ta ®­îc kÕt qu¶ lµ: 0,(0196078431372549)	
VËy lµ sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoµn chu k× gåm 16 ch÷ sè.	
Mµ : 2014 = 16.125 + 14. 
Do ®ã chø sè thËp ph©n thø 2014 chÝnh lµ chø sè ë vÞ trÝ thø 14. 
§ã lµ chữ sè 5.	
0.25
0.25
0.25
0.25
3
a
Dễ thấy 1 ; 2 ; 3 ; 4 là nghiệm của P(x) – A(x); trong đó A(x) = 2x2 + 1
1.0
2
b
Gọi x5 là nghiệm còn lại của P(x) – A(x)
 => Ta có P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – x5) + 2x2 + 1 (1)
Vì P(5) = 50 => 4.3.2.1(5 – x5) + 2.52 + 1= 50 x5 = 121/24
Thay x5 = 121/24 vào (1) ta có:
 P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 121/24) + 2x2 + 1 
 Nên P(6) = 188 ; P(7) = 804
0.5
0.5
4
Số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau 4 kỳ hạn 3 tháng và sau 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7 kỳ hạn 6 tháng lần lượt là:
. 
Dùng phím CALC lần lượt nhập giá tri của A là 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta được: 22804326,3 đồng; 232871568,78 đồng; 24988758,19 đồng; 26158232,06 đồng; 27382437,34 đồng ; 28663935,38 đồng; 30005407,56 đồng
Ta có: 28663935,38 < 29451583,0849007< 30005407,56,
Nên số kỳ hạn gửi sáu tháng đủ là: 6 kỳ hạn.
Giải phương trình sau, bằng dùng chức năng SOLVE và nhập cho A lần lượt là 1 ; 2; 3 ; 4; 5, nhập giá trị đầu cho X là 0,6 (vì lãi suất không kỳ hạn bao giờ cũng thấp hơn có kỳ hạn)
X = 0,68% khi A = 4.
Vậy số kỳ hạn 6 tháng bác Nam gửi tiết kiệm là: 6 kỳ hạn ; số tháng gửi không kỳ hạn là: 4 tháng và lãi suất tháng gửi không kỳ hạn là 0,68%
0.5
0.5
0.25
0.5
0.25
2
5
a
.
1.0
3
b
1 STO A, 0 STO D, 0 ALPHA D, ALPHA =, ALPHA D+1, ALPHA:, ALPHA A, ALPHA =, ALPHA A + (-1)D-1.(D-1): D2
Sau đó bấm bằng liên tiếp.
1.0
c
Theo dõi số đếm D ứng với chỉ số của 
1.0
6
a
A
B
C
E
F
H
G
D
y
x
Đặt BC = a; AH = h và 2 cạnh của HCN là x,y. 
 Ta có SABC = SADE + SDEFG + SDBG + SFEC
 = 
 = 
0.5
0.5
0.5
3
b
Vì SDEFG = x.y nên SDEFG = 
 SDEFG = SDEFG ≤ hay SDEFG ≤ 
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật DEFG là 
Khi đó =0 x = Hình chữ nhật DEFG có diện tích lớn nhất khi DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Với BC = 20,111982cm và đường cao AH = 20,112012 cm
Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật DEFG là: 101,1231058319 cm2
(trên máy chỉ hiện được 7 chữ số thập phân)
0.5
0.5
0.5
2
Lấy E trên tia đối của tia DA / DE = BM, từ đó chứng minh được tam giác IKQ là tam giác vuông có chu vi bằng BD. 
Đặt IQ = x, IK = y, áp dụng bất đẳng thức cho hai số dương để có 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi DN = DM = 2.tan 22030’. 
0.5
0.5
0.5
0.5
2
7
a
Xét 
 Ta có 
 Suy ra 
Ta chứng minh 
n=0 có 
n=1 có 
Giả sử đúng đến n=k ta chứng minh điều trên cũng đúng với n=k+1
Thật vậy mà và 
Do đó 
Ta có: 
Suy ra 
 có 1000 chữ số 9 
Vì nên chữ số thập phân thứ 999 của là 9 
0.5
0.5
0.5
1.5
b
Ta có A =.
 Dễ chứng minh bất đẳng thức: dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a.d=b.c 
Áp dụng: 
Suy ra A dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: kết hợp với ta luôn tìm được x và y.
Giá trị bé nhất của A là nhấn máy =6,403124237
Ta nhấn - 6,40312423=7,432848. do đó ta có được kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 14sau dấu phẩy là: A6,40312423743284 
0.5
0.5
0.5
1.5
* Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
------------- Hết-------------