Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Đề 7 - Năm học 2014-2015 - Phòng Giáo dục và Đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP HẢI DƯƠNG
T7
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN HỌC
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Đề thi gồm 5 câu: 01 trang
Câu 1 (2 điểm).
Rút gọn biểu thức sau: 
Câu 2 (2 điểm). Giải phương trình:
a) 
b) 
Câu 3 (2 điểm).
 1. Cho đường thẳng: 2(m - 1)x + (m - 2)y = 2 (d)
 a) Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
 b) Tìm m sao cho đường thẳng (d) cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất.
 2. Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: (y + 2).x2 + 1 = y2 
Câu 4 (3 điểm).
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD và CE cắt nhau tại H. Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác BDH cắt đường tròn (O) tại M 
(M khác B). Vẽ đường kính BF của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: Đường trung trực của đoạn HD đi qua điểm I
b) Gọi N là giao điểm của HF và AC. 
 Chứng minh NE là tiếp tuyến của đường tròn (I)
c) Chứng minh ba điểm M, H, F thẳng hàng.
Câu 5 (1 điểm). 
Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3
Chứng minh rằng: 
---------------------------Hết-------------------------------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP HẢI DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TP
NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN: TOÁN - LỚP 9 
(Gồm 04 trang)
Câu
Ý
Nội dung
Biểu điểm
1
a
Vậy M = 2015 khi 
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
b
Rút gọn biểu thức sau: 
Đặt C = 
Ta có: 
 = 
Ta có: C= 
C3 = 9+. C
Ta có 
 Do đó: . Vậy 
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
2
a
 (ĐK: )
Phương trình 
(1) Û 	
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = – 1
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
b
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
3
1a
Giả sử (d) đi qua điểm cố định (xo; yo) ta có :
2(m - 1)xo + (m - 2)yo = 2 với mọi m 
 2mxo – 2xo + myo – 2yo = 2 
m(2xo + yo) – (2xo + 2yo+ 2) = 0, với mọi m	 , với mọi m	
	, với mọi m	
Vậy điểm cố định là: A (1;-2).
0,25 điểm
0,25 điểm
1b
Ta gọi điểm B (d), B Ox B(xB;0)
2(m - 1)xB + (m - 2).0 = 2 
xB = 	(m1) OB = 	
Gọi điểm C (d), COy C(0 ;yc)
2(m - 1).0 + (m - 2)yC = 2 yc = (m2)
OC = 	
Gọi OH là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng BC
Có = 
 OH2=	
Có 5m2 -12m +8 = 5(m - )2 + 	
OH2 5 OH 	
Dấu “=” xảy ra khi (m -)2 = 0 m = 
Tại m = 1 y = 2 OH = 2
 m = 2 x = 1 OH = 1	
Vậy m = thì OHmax = 
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
2
Từ (y + 2).x2 + 1 = y2 x2 = 
vì x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3) 
 suy ra y + 2 
 nên y 
do x2 nên (y2 - 1)(y + 2) , 
 hoặc y 
do đó y = - 1 hoặc y = 1 suy ra x = 0 
Vậy giá trị nguyên của x, y là: (x,y) =
0,25 điểm
0,25 điểm
4
a
Vì đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác BDH vuông tại D nên I là trung điểm của BH.
Gọi K là trung điểm của HD (1)
Ta có IK là đường trung bình của tam giác BKD 
=> IK // BD, mà HD BC nên IK HD (2)
Từ (1) và (2) suy ra IK là đường trung trực của HD (đpcm)
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
b
- Ta chứng minh tứ giác AHCF là hình bình hành, suy ra HF cắt AC tại trung điểm của mỗi đường => N là trung điểm của AC.
- Xét tam giác vuông AEC có EN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC nên suy ra NE = NC
=> ENC cân tai N
=> 
Chứng minh tương tự có 
Mà (cùng phụ với hai góc đối đỉnh)
Do đó => , mà E thuộc (I)
Vậy NE là tiếp tuyến của đường tròn (I)
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
c
- Chứng minh OI // HF
- Chứng minh OI là đường trung trực của BM
=> OI BM
Mà OI // HF => HF BM (3)
Mặt khác lại có: => HM BM (4)
Từ (3) và (4) suy ra H, M, F thẳng hàng (đpcm)
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
5
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương, ta có:
Vậy . 
Dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y = z = 1
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
* Chú ý: Nếu học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa