Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TP. HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN: TOÁN HỌC
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Ngày thi: 25 tháng 12 năm 2017
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Phân tích đa thức P = thành nhân tử.
b) Rút gọn biểu thức 
Câu 2 (2,0 điểm) Giải phương trình; hệ phương trình sau:
Câu 3 (2,0 điểm)
Tìm các cặp số nguyên () thỏa mãn .
Tìm các cặp số nguyên dương (m; n) sao cho 2m + 1 chia hết cho n và 2n + 1 chia hết cho m
Câu 4 (3,0 điểm) 
 	Cho nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Vẽ tia phân giác của góc ACB cắt đường tròn (O) tại M. Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng BM và CA. Vẽ đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC tại H và cắt cạnh CD tại E. Đoạn thẳng BE cắt đường tròn (O) tại K. Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng BA và CM; F là giao điểm của đoạn thẳng NA và CK.
a) Với và MH = 30cm, tính độ dài các đoạn thẳng BH và HC.
b) Chứng minh BH.BC = MN.MC.
c) Chứng minh F là trung điểm của đoạn thẳng AN.
Câu 5 (1,0 điểm) 
	Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. 	
 Tìm giá trị nhỏ nhất của 
-------------------HẾT-------------------
Họ tên học sinh:Số báo danh:
Giám thị 1:   Giám thị 2
PHÒNG GD&ĐT TP. HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2017 – 2018
Môn: Toán học
(Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)
Câu
ý
Nội dung cần đạt
Điểm
a) Phân tích đa thức P = thành nhân tử.
1
2,0
a
0,75
 =
0,25
0,25
0,25
b
1,25
Rút gọn biểu thức 
Xét: 
=...
0,25
Áp dụng các kết quả trên ta có 
0,25
ĐKXĐ của M là 
0,25
*)Khi a >3 
0,25
*)Khi a £ -3, a - 4
0,25
2
2,0
a
1,0
Xét phương trình (2), ta có :
0,25
Với x = 2y thay vào phương trình (1), ta có 
0,25
Với x = -y - 1 thay vào phương trình (1), ta có :
0,25
Vậy hệ có 4 nghiệm : (x ;y) = (2 ;1), (-2 ;-1), (2 ;-3), (-3 ;2)
0,25
b
1,0
Giải pt 
 ĐK: x³ -1
Với ĐK trên, cả hai vế của phương trình đều dương. Bình phương 2 vế ta có:
Giải ra có x = ( thỏa mãn ĐK)
Vậy S = 
0,25
0,25
0,25
0,25
3
2,0
a
1,0
Tìm các số nguyên thỏa mãn (1)
Ta có 
Giải phương trình nghiệm nguyên này ta được các cặp số nguyên (x;y) như sau:
(-18; 17); (30; -15); (-36; 17); (12; -15)
0,5
0,5
b
1,0
Tìm các cặp số nguyên dương (m; n) sao cho 2m + 1 chia hết cho n và 
2n + 1 chia hết cho m
Từ giả thiết ta có m, n đều là số tự nhiên lẻ
Không giảm tính tổng quát, giả sử m ³ n
Þ 2n+1 £ 2m + 1 £ 3m
Do 2n + 1 là số lẻ nên Þ 2n + 1 = m hoặc 2n + 1 = 3m
*) Nếu 2n + 1 = m Þ 2m + 1 = 2(2n + 1) + 1 = 4n + 3 chia hết cho n
Þ n Î 1; 3 
Khi n = 1 thì m = 3; khi n = 3 thì m = 7
*) Nếu 2n + 1 = 3m Þ 2n + 1 = 2m + 1 nên n = m = 1
Vậy các cặp số nguyên dương (m, n) cần tìm là (1; 1); (1; 3); (3; 1); 
(3; 7); (7; 3)
0,25
0,25
0,25
0,25
4
3,0
a
1,0
Vì M thuộc đường tròn đường kính BC suy ra MO = BC
Có MO là đường trung tuyến của tam giác BMC mà MO = BC vuông tại M.
0,25
Chứng minh tương tự ta có H thuộc đường tròn đường kính MC 
Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại M, ta có:
0,25
Lại có: . 
0,25
Thay vào (*) ta có:
; BH = 18cm
0,25
b
1,0
Chứng minh tương tự ta có: vuông tại A 
 (cùng phụ với )
0.25
Mà (gt) (g.g)
0,25
0,25
Lại có: vuông tại M đường cao MH có 
(đpcm)
0,25
c
1,0
Xét có ; CM là tia phân giác cân tại C.
CM là đường trung tuyến M là trung điểm của BD.
0,25
Có E thuộc đường tròn đường kinh MC 
Lại có: ME // AB (cùng vuông góc với DC)E là trung điểm của DA.
0,25
Mặt khác xét có CM, BA là 2 đường cao cắt nhau tại N 
N là trực tâm 
Xét có F là trực tâm 
0,25
Mà nên suy ra EF // DN 
Xét tam giác ADN có E là trung điểm của AD,
FE//DN suy ra F là trung điểm của AN (đ.p.c.m)
0,25
5
1,0
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. 	
 Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Từ ab + bc + ca = 1 nên
Xét 
 (1)
Đặt với x; y; z > 0
 Từ (1) ta có P - 3 = x + y + z - - - ³ 0
Þ P ³ 3
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. Khi đó a = b = c = 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 khi a = b = c = 
0,25
0,25
0,25
0,25