Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Ngày thi 3-3-2015 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Ngày thi 03 tháng 03 năm 2015 
Câu 1 (2,0 điểm). 
a) Tìm các số tự nhiên n để A= là số nguyên tố.
b) Tính giá trị của biểu thức , với: 
Câu 2 (2,0 điểm). 
a) Giải phương trình: .
b) Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn: .
b) Gọi là hai đa giác đều, có tỉ số giữa số đo các góc trong của chúng là . Tính số đường chéo của mỗi đa giác.
Câu 4 (3,0 điểm). 
1. Cho hai đường tròn (O) và (O/) cắt nhau tại A và B. Điểm M di chuyển trên (O), qua M kẻ tiếp tuyến với MD với (O/), với D là tiếp điểm.
a) Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b) Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng OO’ chứa điểm B, vẽ tiếp tuyến chung CK của hai đường tròn(C thuộc (O), K thuộc(O/)). Qua A kẻ đường thẳng song song với CK cắt đường tròn (O) tại E, cắt đường tròn (O/) tại F. Đường thẳng BC và BK cắt đường thẳng EF theo thứ tự tại P và Q; đường thẳng CE và KF cắt nhau tại I. Chứng minh AI vuông góc với CK và tam giác IPQ là tam giác cân.
2. Trên đường tròn (O; R) lấy hai điểm B, C sao cho số đo cung nhỏ BC bằng 1200. Điểm A thuộc cung lớn BC. Điểm M di chuyển trên cung nhỏ BC. Gọi D, H, K là hình chiếu của M trên các đường thẳng BC, CA, AB. Tìm vị trí của điểm M để biểu thức có giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (1,0 điểm).
	Cho x, y, z là các số thực dương, nhỏ hơn 1 thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
----------- Hết-------------
SBD: ................... Họ và tên thí sinh: .......................................................................
Giám thị 1: ................................................... Giám thị 2: ..........................................
PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Ngày thi 03 tháng 03 năm 2015
Câu
Ý
Nội dung
Điểm TP
Tổng điểm
1
a
Phân tích A=
0.25
1
Với n=0 thì A =-7 không là số nguyên tố.
0.25
Với thì 
Để A là số nguyên tố thì: 
0.25
 Khi n=1 thì A=13 là số nguyên tố. Vậy n=1 
0.25
b
0.25
1
Suy ra: 
0.25
0.25
. Vậy 
0.25
2
a
ĐK: . Với điều kiện đó thì phương trình tương tương với:
0.25
1
0.25
0.25
KL: Phương trình có một nghiệm duy nhất x=5
0.25
b
 ĐKXĐ: 
0.25
1
Hệ phương trình tương đương với:
0.25
Đặt thì phương trình (2) trở thành:
Mà nên 
0.25
Suy ra x=3y+1. Khi đó phương trình (1) trở thành:
Với y=1 thì x=4 (Thoả mãn)
Với y= thì x= (Không thoả mãn)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x=4; y=1)
0.25
3
a
Xét :
Với x=1 suy ra (Không thoả mãn với y nguyên dương)
0.25
1
Với . Đặt x-2=n. Ta có: (1) với 
0.25
*Nếu thì từ (1) suy ra: 
Suy ra 
Suy ra n=4, y=30, x=6
0.25
*Nếu n lẻ thì chia 4 dư 2, chia 4 dư 0 hoặc 1 (vô lí)
Vậy x=6, y=30.
0.25
b
Giả sử đa giác đều M có số cạnh là a , đa giác đều N có số cạnh là b
 và 
Mỗi góc trong của M là: 
Mỗi góc trong của N là: 
0.25
1
Ta có:
0.25
 Do a và b là các số tự nhiên lớn hơn 3 nên ta tìm được b=14 hoặc b=56
Suy ra a=6 hoặc a=8
0.25
*Với a=6 thì đa giác M có số đường chéo là: 6(6-3):2=9
 b=14 thì đa giác N có số đường chéo là: 14(14-3):2=77
*Với a=8 thì đa giác M có số đường chéo là: 8(8-3):2=20
 b=56 thì đa giác N có số đường chéo là: 56(56-3):2=1484
0.25
4
1a
0.25
1
Gọi N là giao điểm thứ hai của MA với (O’).
Chứng minh: 
0.25
Suy ra 
0.25
Chứng minh hai tam giác MBN và OBO’ đồng dạng suy ra:
(không đổi)
0.25
1b
H
0.25
1
Có CK // EF => góc ICK = góc IEF.
Mà góc IEF = góc KCA => Góc ICK = góc KCA
=> CK là phân giác của góc ICA.
Chứng minh tương tự ta được: KC là phân giác của góc IKA.
=> Hai điểm I và K đối xứng nhau qua CK
=> IA vuông góc với EF.
Mà EF // CK => IA vuông góc với CK.
0.25
Gọi giao điểm của AB với CK là H.
Do CK là tiếp tuyến của (O) và (O/) nên ta chứng minh được
HC2 = HA.HB và HK2 = HA.HB.
Suy ra HC = HK 
0.25
Do CK // EF nên CK // PQ => ( hệ quả của định lí Ta- let)
 Từ đó suy ra: AQ = AP.
 Vậy tam giác IPQ là tam giác cân tại I. 
0.25
2
Ta có: gócMCD = góc MAK suy ra: các tam giác MCD, MAK đồng dạng suy ra 
Tương tự các tam giác MBD, MAH đồng dạng suy ra 
0.25
1
Chứng minh được: MA.BC=AB.MC+AC.MB
0.25
Suy ra: 
Suy ra: 
Từ đó (*)
Lại có BC=R. Suy ra
0.25
Để nhỏ nhất thì MD lớn nhất
MD lớn nhất khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung BC
Khi đó 
Vậy 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung BC
0.25
5
Do 0 < x, y, z < 1 .
Mà 
Suy ra ta chứng minh được: (1)
Và x(1-x) ; y(1-y) ; z(1-z) > 0 ; 
0.25
1
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các cặp số dương ta có:
0.25
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:
=> ( 2) ( Do)
Từ (1) và (2) suy ra S 
0.25
Đẳng thức xảy ra khi (thoả mãn ĐK)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S là khi 
0.25
* Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
------------- Hết-------------